Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Как можно доказать, что треугольник является прямоугольным?

Геометрия 9 класс Треугольники медиана треугольника высота треугольника доказательство прямоугольного треугольника углы треугольника свойства треугольников Новый

Чтобы доказать, что треугольник является прямоугольным, если медиана и высота, проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части, следуем следующим шагам:

1. Обозначим треугольник: Пусть треугольник ABC, где A - вершина, из которой проведены медиана AM и высота AH.
2. Определим углы: Обозначим угол BAC как α. По условию, медиана AM и высота AH делят угол α на три равные части. Это значит, что:
   • Угол BAM = α/3
   • Угол MAH = α/3
   • Угол HAC = α/3
3. Сложим углы: Сложим эти три части угла α:
   • Угол BAM + Угол MAH + Угол HAC = α/3 + α/3 + α/3 = α.
4. Выявим значение угла α: Поскольку угол BAC равен α, и мы получили, что α = α, это подтверждает, что деление угла на три равные части корректно.
5. Исследуем треугольник: Теперь, обратим внимание на треугольник ABH. Угол AHB является вертикальным углом к углу BAC. Поскольку высота AH перпендикулярна основанию BC, то угол AHB равен 90 градусам.
6. Используем свойства углов: Учитывая, что угол AHB = 90 градусов и угол BAC = α, мы можем записать:
   • Угол ABH + Угол AHB + Угол HAC = 180 градусов.
7. Заменим углы: Подставив известные значения, получаем:
   • Угол ABH + 90 + α/3 = 180.
   • Угол ABH = 180 - 90 - α/3 = 90 - α/3.
8. Проверим условия: Если угол ABH = 90 - α/3, то это означает, что угол BAC + угол ABH = 90 градусов. Таким образом, угол BAC + угол ABH = 90, что подтверждает, что треугольник ABC является прямоугольным.

Таким образом, мы доказали, что если медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части, то треугольник является прямоугольным.