Одна из сторон треугольника на 8 см больше другой, а углы, лежащие против этих сторон, равны соответственно 45 и 30 градусов. Как можно найти длины этих сторон треугольника?

Геометрия 9 класс Треугольники геометрия треугольник стороны треугольника углы треугольника длины сторон 9 класс задача по геометрии равные углы соотношение сторон Тригонометрия решение задачи Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать теорему синусов, которая позволяет связать стороны треугольника с его углами.

Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношения длины стороны к синусу противолежащего угла равны:

• a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

В нашем случае мы имеем треугольник с двумя известными углами: 45 градусов и 30 градусов. Давайте обозначим стороны, лежащие против этих углов, как a и b соответственно. Сторона a на 8 см больше стороны b, то есть a = b + 8 см.

Шаги решения задачи:

1. Определяем третий угол: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Зная два угла, 45 и 30 градусов, мы можем найти третий угол: 180 - 45 - 30 = 105 градусов.
2. Применяем теорему синусов: Используя теорему синусов, мы можем записать следующие соотношения:
   • a / sin(45) = b / sin(30) = c / sin(105)
3. Выражаем стороны через синусы:
   • a = b + 8
   • Синус 45 градусов равен √2/2, синус 30 градусов равен 1/2, а синус 105 градусов равен синусу (180 - 75) градусов, что равно синусу 75 градусов. Синус 75 градусов можно выразить как sin(90 - 15) = cos(15), но для простоты можно использовать таблицу синусов: sin(75) = √3/2 + 1/2.
4. Решаем уравнение: Подставляем известные значения синусов в уравнение:
   • (b + 8) / (√2/2) = b / (1/2)

   Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

   • (b + 8) * √2 = b

   Теперь решаем это уравнение относительно b:

   • b * (1 - √2) = -8√2
   • b = -8√2 / (1 - √2)

   Выполнив вычисления, получаем значение b, а затем находим a = b + 8.

Таким образом, мы нашли длины сторон a и b, используя теорему синусов и известные углы треугольника.