Отрезок AK является биссектрисой угла A треугольника ABC. Как можно найти длину стороны BC, если известно, что произведение AB и AC равно 24, а отношение отрезков BK и CK составляет 3:5 см?

Геометрия 9 класс Биссектрисы треугольника биссектрисы треугольник ABC длина стороны BC произведение AB AC отношение отрезков BK CK геометрия 9 класс Новый

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и теоремой о биссектрисе. Начнем с того, что отрезок AK является биссектрисой угла A треугольника ABC, что означает, что он делит угол A на два равных угла и делит противоположную сторону BC на отрезки BK и CK в отношении, равном отношению сторон AB и AC.

Дано:

• Произведение AB и AC равно 24: AB * AC = 24
• Отношение отрезков BK и CK составляет 3:5.

Обозначим:

• AB = c
• AC = b
• BK = 3x
• CK = 5x

Согласно теореме о биссектрисе, имеем:

BK / CK = AB / AC, что можно записать как:

3x / 5x = c / b.

Сокращая x, получаем:

3/5 = c/b.

Из этого уравнения можно выразить одну сторону через другую:

c = (3/5)b.

Теперь подставим это выражение в уравнение произведения:

c * b = 24.

Подставим c:

(3/5)b * b = 24.

Упрощаем:

(3/5)b^2 = 24.

Умножим обе стороны на 5:

3b^2 = 120.

Теперь делим обе стороны на 3:

b^2 = 40.

Находим b:

b = √40 = 2√10.

Теперь найдем c, подставив значение b в выражение для c:

c = (3/5)(2√10) = (6√10)/5.

Теперь мы знаем длины сторон AB и AC:

• AB = (6√10)/5
• AC = 2√10

Теперь найдем длину стороны BC. Сначала найдем его длину через отрезки BK и CK:

BC = BK + CK = 3x + 5x = 8x.

Теперь найдем x. Мы знаем, что:

BK / CK = c / b = 3 / 5.

Следовательно, отрезки BK и CK можно выразить через c и b:

BK = (3/8) * BC, CK = (5/8) * BC.

Теперь подставим значения:

BK = 3x = (3/8) * BC, CK = 5x = (5/8) * BC.

Мы можем выразить BC через x:

BC = 8x.

Теперь подставим значение x, используя соотношение:

3x / 5x = c / b.

Итак, у нас есть соотношение для x:

3x = (3/8) * BC, 5x = (5/8) * BC.

Теперь мы можем найти BC, подставив значения:

BC = 8x = 8 * (5/8) * BC = 5 * BC.

Таким образом, длина стороны BC равна:

BC = 8 * x = 8 * (24/(c + b)) = 8 * (24/(6√10/5 + 2√10)) = 8 * (24/(6√10/5 + 10√10/5)) = 8 * (24/(16√10/5)) = 8 * (24 * 5 / 16√10) = 60/√10 = 6√10.

Таким образом, длина стороны BC равна 8 см.