Для того чтобы построить единичный вектор b, который будет удовлетворять равенству a * b = 1, нужно понять, что такое единичный вектор и как работает скалярное произведение векторов.

Шаги решения:

1. Определение единичного вектора: Единичный вектор — это вектор, длина которого равна 1. Если у нас есть вектор a, то его длина (или модуль) вычисляется по формуле:
• ||a|| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2),
2. где a1, a2 и a3 — это компоненты вектора a.
3. Нахождение единичного вектора: Чтобы получить единичный вектор b из вектора a, нужно разделить каждый компонент вектора a на его длину:
• b = (a1 / ||a||, a2 / ||a||, a3 / ||a||).
4. Проверка равенства: Теперь, чтобы проверить, выполняется ли равенство a * b = 1, нужно знать, что скалярное произведение двух векторов a и b определяется как:
• a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3.
5. Подставляем b:
• a * b = a1 * (a1 / ||a||) + a2 * (a2 / ||a||) + a3 * (a3 / ||a||).
6. Это можно упростить:
• a * b = (a1^2 + a2^2 + a3^2) / ||a|| = ||a||.
7. Таким образом, чтобы a * b = 1, необходимо, чтобы ||a|| = 1. Если длина вектора a равна 1, то b будет единичным вектором, и равенство будет выполнено.
8. Существует ли всегда такой вектор b? Да, такой вектор b всегда существует, если вектор a не равен нулевому вектору. Если a = (0, 0, 0), то его длина равна 0, и нельзя построить единичный вектор. В остальных случаях, если ||a|| ≠ 0, мы можем построить единичный вектор b.

Таким образом, чтобы найти единичный вектор b, нужно просто нормализовать вектор a, деля его компоненты на его длину, при условии, что вектор a не равен нулевому вектору.