Сторона ромба ABCD равна 1, угол BCD составляет 60 градусов. Точки M и K являются серединами сторон AD и CD соответственно. Какое значение имеет скалярное произведение векторов AK и BM?

Геометрия 9 класс Скалярное произведение векторов ромб сторона ромба угол скалярное произведение векторы геометрия 9 класс середины сторон треугольники Новый

Для решения данной задачи начнем с определения координат точек ромба ABCD, учитывая, что его стороны равны 1, а угол BCD равен 60 градусам.

Рассмотрим ромб ABCD, где:

• Точка A находится в координатах (0, 0).
• Точка B будет находиться в координатах (1, 0), так как AB = 1.
• Точка C можно расположить так, чтобы угол BCD составлял 60 градусов. Если мы примем, что точка C находится на координатах (1/2, √3/2), то это соответствует углу 60 градусов.
• Точка D, будучи симметричной точке B относительно точки C, будет находиться в координатах (1/2, -√3/2).

Теперь мы имеем следующие координаты точек:

• A(0, 0)
• B(1, 0)
• C(1/2, √3/2)
• D(1/2, -√3/2)

Теперь найдем координаты точек M и K:

• Точка M является серединой стороны AD, поэтому ее координаты будут:
• M((0 + 1/2)/2, (0 - √3/2)/2) = (1/4, -√3/4)
• Точка K является серединой стороны CD, поэтому ее координаты будут:
• K((1/2 + 1/2)/2, (√3/2 - √3/2)/2) = (1/2, 0)

Теперь у нас есть все необходимые точки для вычисления векторов AK и BM:

• Вектор AK = K - A = (1/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, 0)
• Вектор BM = M - B = (1/4 - 1, -√3/4 - 0) = (-3/4, -√3/4)

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов AK и BM:

Скалярное произведение векторов (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле:

Скалярное произведение = x1 x2 + y1 y2

Подставляем наши значения:

• x1 = 1/2, y1 = 0
• x2 = -3/4, y2 = -√3/4

Скалярное произведение:

• (1/2) * (-3/4) + (0) * (-√3/4) = -3/8 + 0 = -3/8

Таким образом, значение скалярного произведения векторов AK и BM равно:

-3/8