Чтобы найти площадь и углы треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 8 см, сначала нужно проверить, существует ли такой треугольник. Для этого воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

• 4 см + 5 см = 9 см > 8 см
• 4 см + 8 см = 12 см > 5 см
• 5 см + 8 см = 13 см > 4 см

Так как все три условия выполняются, треугольник существует.

Теперь найдем площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона:

Сначала найдем полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2 = (4 + 5 + 8) / 2 = 17 / 2 = 8.5 см

Теперь применим формулу Герона для расчета площади:

Площадь S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

Подставим значения:

S = √(8.5 * (8.5 - 4) * (8.5 - 5) * (8.5 - 8))

S = √(8.5 * 4.5 * 3.5 * 0.5)

Теперь вычислим это значение:

S = √(8.5 * 4.5 * 3.5 * 0.5) ≈ √(67.875) ≈ 8.23 см²

Теперь найдем углы треугольника. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

• cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)
• cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac)
• cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

Где a = 8 см, b = 5 см, c = 4 см.

Теперь найдем угол A:

cos(A) = (5² + 4² - 8²) / (2 * 5 * 4) = (25 + 16 - 64) / 40 = -23 / 40

A ≈ arccos(-0.575) ≈ 126.87°

Теперь найдем угол B:

cos(B) = (8² + 4² - 5²) / (2 * 8 * 4) = (64 + 16 - 25) / 64 = 55 / 64

B ≈ arccos(0.859) ≈ 31.08°

И, наконец, угол C:

cos(C) = (8² + 5² - 4²) / (2 * 8 * 5) = (64 + 25 - 16) / 80 = 73 / 80

C ≈ arccos(0.9125) ≈ 23.05°

Итак, мы нашли площадь и углы треугольника:

• Площадь треугольника ≈ 8.23 см²
• Угол A ≈ 126.87°
• Угол B ≈ 31.08°
• Угол C ≈ 23.05°