В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет меньше другого на 2. Какова площадь этого треугольника?

Геометрия 9 класс Площадь треугольника прямоугольный треугольник гипотенуза 10 катеты треугольника площадь треугольника задачи по геометрии 9 класс Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам необходимо сначала определить длины его катетов. Обозначим один катет как a, а другой катет, который на 2 меньше, как b = a - 2.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

a² + b² = c²,

где c - длина гипотенузы. В нашем случае c = 10.

Подставим значения в уравнение:

a² + (a - 2)² = 10²

Раскроем скобки:

a² + (a² - 4a + 4) = 100

Теперь объединим подобные слагаемые:

2a² - 4a + 4 = 100

Переносим 100 в левую часть уравнения:

2a² - 4a + 4 - 100 = 0

Упрощаем уравнение:

2a² - 4a - 96 = 0

Теперь можно разделить все коэффициенты на 2, чтобы упростить уравнение:

a² - 2a - 48 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac,

где a = 1, b = -2, c = -48.

Вычислим дискриминант:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-48) = 4 + 192 = 196

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

a = (2 ± √196) / 2

Вычислим корни:

√196 = 14,

поэтому:

a = (2 + 14) / 2 = 8 и a = (2 - 14) / 2 = -6.

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, принимаем a = 8. Тогда b = a - 2 = 8 - 2 = 6.

Теперь у нас есть длины катетов: a = 8 и b = 6.

Теперь можем найти площадь треугольника по формуле:

Площадь = (1/2) * a * b

Подставляем значения:

Площадь = (1/2) * 8 * 6 = 24

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 24 квадратных единиц.