В треугольнике ABC биссектриса CM делит сторону AB на отрезки AM=9 и MB=12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Какова длина отрезка CD?

Геометрия 9 класс Биссектрисы треугольника треугольник ABC биссектрисы отрезки AM MB касательная описанная окружность длина отрезка CD Новый

Для решения задачи необходимо воспользоваться теорией о биссектрисе и свойствами касательных к окружности.

Шаг 1: Использование теоремы о биссектрисе

По теореме о биссектрисе, отношение отрезков, на которые делит биссектрисса сторону треугольника, равно отношению длин прилежащих сторон. В нашем случае это означает:

• AM = 9
• MB = 12

Следовательно, мы можем записать:

AB = AM + MB = 9 + 12 = 21.

Шаг 2: Определение отношений сторон

Согласно теореме о биссектрисе, мы имеем:

AC/BC = AM/MB = 9/12 = 3/4.

Это означает, что стороны AC и BC находятся в отношении 3:4.

Шаг 3: Свойства касательной

Касательная к окружности, проведенная из точки C, имеет важное свойство: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Также известно, что длина отрезка от точки касания до точки, где касательная пересекает прямую, равна длине отрезка от точки касания до точки, где касательная пересекает другую сторону.

Шаг 4: Применение свойства касательной

Пусть точка касания касательной с окружностью — это точка E. Тогда согласно свойству касательной, мы можем записать:

CD = CE.

Так как CD является касательной к описанной окружности треугольника ABC, а C является внешней точкой, то длина отрезка CD равна произведению отрезков AM и MB, делённому на длину AB:

CD = (AM * MB) / AB.

Подставим известные значения:

CD = (9 * 12) / 21 = 108 / 21 = 5.14 (приблизительно).

Ответ: Длина отрезка CD составляет примерно 5.14.