В треугольнике ABC биссектриса CM делит сторону AB на отрезки AM=9 и MB=12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Какова длина отрезка CD?

Геометрия 9 класс Биссектрисы треугольника длина отрезка CD треугольник ABC биссектрисы описанная окружность касательная геометрия отрезки AM и MB Новый

Для решения задачи начнем с того, что по свойству биссектрисы мы можем использовать теорему о пропорциональности отрезков, на которые она делит сторону треугольника. В нашем случае, биссектрису CM, делящую сторону AB, можно рассмотреть следующим образом:

• Дано: AM = 9 и MB = 12.
• Согласно теореме о биссектрисе, мы знаем, что отношение сторон, прилежащих к углам, равно отношению отрезков, на которые делит биссектрису:

Отношение AM к MB:

• AM / MB = 9 / 12 = 3 / 4.

Теперь обозначим длины сторон треугольника ABC:

• Сторона AC равна 3k, где k - некоторая положительная величина.
• Сторона BC равна 4k.

Следующий шаг – использование свойства касательной к описанной окружности. Касательная к окружности, проходящая через точку C, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это свойство позволяет нам использовать теорему о касательной и секущей:

• Если отрезок CD является касательной, то CD^2 = AD * DB.

Теперь найдем отрезки AD и DB:

• AD = AM = 9.
• DB = MB = 12.

Теперь можем подставить эти значения в формулу:

• CD^2 = AD * DB = 9 * 12 = 108.

Теперь найдем длину отрезка CD:

• CD = √108 = 6√3.

Таким образом, длина отрезка CD равна 6√3.