Для решения данной задачи начнем с того, что необходимо найти длины отрезков, на которые точки K, L и M делят стороны треугольника ABC. Мы знаем, что:

• AB = 5
• BC = 6
• CA = 7

Далее, мы будем использовать свойства биссектрис и теоремы о делении отрезков.

Шаг 1: Определение углов треугольника ABC.

Для начала найдем углы треугольника ABC с помощью теоремы косинусов. Сначала найдем угол A:

1. Используем формулу косинуса: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), где a = BC, b = CA, c = AB.
2. Подставляем значения: cos(A) = (6^2 + 7^2 - 5^2) / (2 * 6 * 7) = (36 + 49 - 25) / 84 = 60 / 84 = 5/7.
3. Таким образом, угол A можно найти как A = arccos(5/7).

Аналогично, можно найти углы B и C.

Шаг 2: Использование свойства биссектрисы.

Биссектрисы углов делят противоположные стороны в отношении длин прилежащих сторон. Таким образом, для нахождения точек K, L и M мы можем воспользоваться следующим свойством:

• Точка K делит отрезок AB в отношении CA : BC = 7 : 6.
• Точка L делит отрезок BC в отношении AB : CA = 5 : 7.
• Точка M делит отрезок CA в отношении BC : AB = 6 : 5.

Шаг 3: Находим длины отрезков.

1. Для точки K: делим отрезок AB = 5 на части в отношении 7 : 6.
2. Сумма частей = 7 + 6 = 13. Значит, длина отрезка AK = (7/13) * 5 = 35/13 и длина отрезка KB = (6/13) * 5 = 30/13.

1. Для точки L: делим отрезок BC = 6 на части в отношении 5 : 7.
2. Сумма частей = 5 + 7 = 12. Значит, длина отрезка BL = (5/12) * 6 = 30/12 и длина отрезка LC = (7/12) * 6 = 42/12.

1. Для точки M: делим отрезок CA = 7 на части в отношении 6 : 5.
2. Сумма частей = 6 + 5 = 11. Значит, длина отрезка CM = (6/11) * 7 = 42/11 и длина отрезка AM = (5/11) * 7 = 35/11.

Таким образом, мы получили длины отрезков, на которые делят стороны треугольника ABC точки K, L и M:

• На стороне AB: AK = 35/13, KB = 30/13.
• На стороне BC: BL = 30/12, LC = 42/12.
• На стороне CA: CM = 42/11, AM = 35/11.

Это и есть ответ на поставленный вопрос. Если у вас остались вопросы, я готов на них ответить!