В треугольнике ABC сторона AB равна 6 (левое ребро), основание AC равно 8, угол между ними составляет 60°. Нужно найти: биссектриссу, медиану, высоту, три угла A, B, C, площадь, радиус вписанной и описанной окружностей.

Геометрия 9 класс Треугольники треугольник ABC сторона AB основание AC угол 60 градусов биссектрисса медиана высота углы A B C площадь треугольника радиус вписанной окружности радиус описанной окружности Новый

Давайте поэтапно решим задачу, начиная с нахождения необходимых элементов треугольника ABC.

1. Нахождение стороны BC:

Для нахождения стороны BC мы можем использовать теорему косинусов. Она гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где a и b - стороны, образующие угол γ, а c - сторона, противолежащая этому углу.

В нашем случае:

• a = AB = 6
• b = AC = 8
• γ = 60°

Подставим значения:

BC² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos(60°).

cos(60°) = 0.5, поэтому:

BC² = 36 + 64 - 2 * 6 * 8 * 0.5 = 36 + 64 - 48 = 52.

Таким образом, BC = √52 = 2√13.

2. Нахождение углов A, B и C:

Теперь мы можем найти углы треугольника. Начнем с угла A, который мы уже знаем:

Угол A = 60°.

Теперь найдем угол B с помощью теоремы синусов:

sin(B) / b = sin(A) / a,

где b = AC = 8, a = AB = 6.

sin(B) = (b * sin(A)) / a = (8 * sin(60°)) / 6.

sin(60°) = √3 / 2, подставляем:

sin(B) = (8 * √3 / 2) / 6 = (4√3) / 6 = 2√3 / 3.

Теперь найдем угол B:

B = arcsin(2√3 / 3) ≈ 70.53°.

Угол C можно найти, используя сумму углов треугольника:

C = 180° - A - B ≈ 180° - 60° - 70.53° ≈ 49.47°.

3. Нахождение медианы:

Медиана из вершины A к основанию BC может быть найдена по формуле:

m = 1/2 * √(2a² + 2b² - c²),

где a = AB, b = AC, c = BC.

Подставляем значения:

m = 1/2 * √(2 * 6² + 2 * 8² - (2√13)²) = 1/2 * √(72 + 128 - 52) = 1/2 * √148 = √37.

4. Нахождение высоты:

Высоту h можно найти по формуле:

h = (b * sin(A)),

где b = AC = 8, A = 60°:

h = 8 * sin(60°) = 8 * √3 / 2 = 4√3.

5. Нахождение площади:

Площадь S треугольника можно найти по формуле:

S = 1/2 * AB * AC * sin(A) = 1/2 * 6 * 8 * sin(60°) = 24√3 / 4 = 6√3.

6. Нахождение радиуса вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности r можно найти по формуле:

r = S / p,

где p - полупериметр треугольника:

p = (AB + AC + BC) / 2 = (6 + 8 + 2√13) / 2 = 7 + √13.

Тогда:

r = (6√3) / (7 + √13).

7. Нахождение радиуса описанной окружности:

Радиус описанной окружности R можно найти по формуле:

R = (abc) / (4S),

где a = BC, b = AC, c = AB.

Подставляем значения:

R = (6 * 8 * 2√13) / (4 * 6√3) = (96√13) / (24√3) = 4√13 / √3.

Таким образом, мы нашли все необходимые элементы треугольника ABC:

• Сторона BC = 2√13.
• Углы: A = 60°, B ≈ 70.53°, C ≈ 49.47°.
• Медиана = √37.
• Высота = 4√3.
• Площадь ≈ 6√3.
• Радиус вписанной окружности = (6√3) / (7 + √13).
• Радиус описанной окружности = 4√13 / √3.