В треугольнике ABC угол C равен 90 градусам, угол A равен 30 градусам, а отрезок BM является биссектрисой треугольника. Как можно найти катет AC, если длина BM составляет 6 см?

Геометрия 9 класс Треугольники треугольник ABC угол C 90 градусов угол A 30 градусов отрезок BM биссектрисы треугольника найти катет AC длина BM 6 см Новый

Давайте начнем с того, что у нас есть треугольник ABC с углом C, равным 90 градусам, и углом A, равным 30 градусам. Это означает, что угол B равен 60 градусам, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Теперь, используя свойства треугольников и биссектрис, давайте найдем длину катета AC.

1. Определим стороны треугольника. В треугольнике ABC:
• Сторона AC - это катет, который мы хотим найти.
• Сторона BC - это другой катет.
• Сторона AB - это гипотенуза.
2. Используем соотношения в треугольнике. Так как угол A равен 30 градусам, а угол B равен 60 градусам, мы можем использовать соотношения сторон в 30-60-90 треугольнике:
• Сторона, против угла 30 градусов (катет AC) равна половине гипотенузы.
• Сторона, против угла 60 градусов (катет BC) равна корню из 3, умноженному на половину гипотенузы.
3. Найдем длину гипотенузы AB. Обозначим длину гипотенузы AB как c. Тогда:
• AC = c/2
• BC = (корень из 3)/2 * c
4. Найдем длину биссектрисы BM. Мы знаем, что длина биссектрисы BM в треугольнике можно найти по формуле:
• BM = (2 * AB * BC) / (AB + AC)
5. Подставим известные значения. Поскольку BM = 6 см, подставим все известные значения в формулу:
• Пусть AB = c, AC = c/2 и BC = (корень из 3)/2 * c.
• Тогда BM = (2 * c * (корень из 3)/2 * c) / (c + c/2) = (корень из 3 * c^2) / (3c/2) = (2 * корень из 3 * c) / 3.
6. Решим уравнение. Теперь мы знаем, что BM = 6 см:
• (2 * корень из 3 * c) / 3 = 6
• 2 * корень из 3 * c = 18
• c = 18 / (2 * корень из 3) = 9 / корень из 3.
7. Найдем катет AC. Теперь, зная c, мы можем найти AC:
• AC = c/2 = (9 / корень из 3) / 2 = 9 / (2 * корень из 3) = 9 * корень из 3 / 6 = 3 * корень из 3.

Таким образом, длина катета AC составляет 3 * корень из 3 см.