Для решения задачи, нам нужно найти длину стороны АВ и площадь треугольника АВС, используя данные углы и сторону.

1. Найдем угол B:

• Сумма углов треугольника равна 180°. У нас есть угол A = 60° и угол C = 45°.
• Угол B = 180° - (угол A + угол C) = 180° - (60° + 45°) = 180° - 105° = 75°.

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• Угол A = 60°
• Угол B = 75°
• Угол C = 45°

2. Используем закон синусов для нахождения стороны AB:

• Согласно закону синусов, мы можем записать:
• AB / sin(C) = BC / sin(A)
• Подставим известные значения:
• AB / sin(45°) = 5√6 / sin(60°)
• Значения синусов: sin(45°) = √2/2 и sin(60°) = √3/2.
• Теперь подставим эти значения в уравнение:
• AB / (√2/2) = 5√6 / (√3/2)
• Умножим обе стороны на (√2/2):
• AB = (5√6 / (√3/2)) * (√2/2)
• Упростим правую часть:
• AB = 5√6 * (√2/2) * (2/√3) = (5√12) / √3 = (5 * 2√3) / 3 = (10√3) / 3.

Таким образом, длина стороны AB равна (10√3) / 3.

3. Теперь найдем площадь треугольника:

• Площадь треугольника можно найти по формуле:
• Площадь = 1/2 * a * b * sin(C),где a и b - стороны, образующие угол C.
• В нашем случае, a = AB, b = BC, C = 45°.
• Подставим известные значения:
• Площадь = 1/2 * (10√3 / 3) * 5√6 * sin(45°)
• Площадь = 1/2 * (10√3 / 3) * 5√6 * (√2 / 2).
• Упростим:
• Площадь = (10 * 5 * √3 * √6 * √2) / (2 * 2 * 3) = (50 * √36) / 12 = (50 * 6) / 12 = 300 / 12 = 25.

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 25.

Ответ:

• Длина стороны AB = (10√3) / 3.
• Площадь треугольника АВС = 25.