Вариант 1

В заданиях 1 – 5 выберите один правильный ответ

1. Какова средняя линия треугольника, которая параллельна основанию, если основание составляет 12 см?
• а) 12 см
• б) 24 см
• в) 6 см
• г) 8 см
2. Какое значение имеет tg45 минус cos60?
• а) 0
• б) 0,5
• в) 1
• г) 1,5
3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом в точке С, чему равно sinB?
• а) AC/AB
• б) BC/AB
• в) AC/BC
• г) BC/AC
4. Стороны прямоугольного треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Каков косинус угла, прилежащего к стороне в 6 см?
• а) 0,8
• б) 0,6
• в) 0,75
• г) 4/3
5. Какие из следующих утверждений являются верными?
• а) любые два равнобедренных треугольника подобны
• б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия
• в) Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то такие треугольники подобны

Задания 6 – 8 выполните с записью условия и полного обоснования

1. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь. Какова высота фонаря в метрах?
2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 16 см и 9 см. Какова площадь треугольника?
3. В прямоугольном треугольнике один катет равен а, а противолежащий ему угол составляет α. Каковы периметр и площадь треугольника?

Геометрия 9 класс Треугольники и тригонометрия геометрия 9 класс средняя линия треугольника tg45 cos60 sinB прямоугольный треугольник косинус угла треугольника утверждения о треугольниках высота фонаря площадь треугольника периметр треугольника Новый

Вариант 1: Ответы на задания 1 – 5

1. Какова средняя линия треугольника, которая параллельна основанию, если основание составляет 12 см?

Средняя линия треугольника, параллельная основанию, равна половине длины основания. Поэтому, если основание треугольника составляет 12 см, то средняя линия будет равна:

• 12 см / 2 = 6 см

Правильный ответ: в) 6 см

2. Какое значение имеет tg 45 минус cos 60?

Значения тригонометрических функций:

• tg 45 = 1
• cos 60 = 0,5

Следовательно, вычисляем:

• 1 - 0,5 = 0,5

Правильный ответ: б) 0,5

3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом в точке С, чему равно sinB?

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике, sinB равно отношению противолежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

• sinB = AC / AB

Правильный ответ: а) AC/AB

4. Стороны прямоугольного треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Каков косинус угла, прилежащего к стороне в 6 см?

Косинус угла равен отношению прилежащего катета (6 см) к гипотенузе (10 см):

• cos = 6 см / 10 см = 0,6

Правильный ответ: б) 0,6

5. Какие из следующих утверждений являются верными?

Рассмотрим каждое утверждение:

• а) любые два равнобедренных треугольника подобны – неверно, так как равнобедренные треугольники могут иметь разные размеры;
• б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия – верно;
• в) Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то такие треугольники подобны – неверно, необходимо знать также величины других углов или стороны.

Правильный ответ: только б) верно

Задания 6 – 8

6. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь. Какова высота фонаря в метрах?

Для решения этой задачи используем прямоугольный треугольник. Высота фонаря (h) будет равна высоте человека (1,6 м) плюс высота от человека до фонаря. Обозначим эту высоту как x. Тогда у нас есть два катета:

• 1,6 м (рост человека) и
• 10 м (расстояние от человека до столба).

Используем теорему Пифагора:

• h = 1,6 + x
• 10 = sqrt((h - 1,6)^2 + 10^2)

Решим это уравнение, чтобы найти h.

7. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 16 см и 9 см. Какова площадь треугольника?

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = (основание * высота) / 2

Гипотенуза равна сумме отрезков:

• 16 см + 9 см = 25 см

Высота может быть найдена через произведение отрезков:

• h = sqrt(16 * 9) = sqrt(144) = 12 см

Теперь подставляем в формулу:

• Площадь = (25 * 12) / 2 = 150 см².

Ответ: 150 см²

8. В прямоугольном треугольнике один катет равен a, а противолежащий ему угол составляет α. Каковы периметр и площадь треугольника?

Периметр треугольника можно выразить как:

• Периметр = a + b + c, где b - другой катет, а c - гипотенуза.

Для нахождения b используем соотношение:

• b = a * tan(α)

Гипотенуза c можно найти по теореме Пифагора:

• c = sqrt(a² + b²)

Площадь треугольника будет равна:

• Площадь = (a * b) / 2 = (a * (a * tan(α))) / 2 = (a² * tan(α)) / 2.

Таким образом, периметр и площадь треугольника зависят от значения a и угла α.