Вопрос: Дан треугольник ABC. Длина стороны AC равна 34,2 см, угол B составляет 45°, а угол C равен 60°. Какова длина стороны AB? (Упрощите ответ до наименьшего натурального числа под знаком корня.)

Геометрия 9 класс Треугольники геометрия 9 класс треугольник ABC длина стороны AC угол B угол C длина стороны AB задача на нахождение длины стороны Тригонометрия формулы треугольника упрощение корня Новый

Чтобы найти длину стороны AB в треугольнике ABC, где известны длина стороны AC и углы B и C, мы можем использовать закон синусов. Закон синусов гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника.

Давайте обозначим:

• AB = c
• AC = b = 34,2 см
• Угол B = 45°
• Угол C = 60°
• Угол A = 180° - (B + C) = 180° - (45° + 60°) = 75°

Теперь мы можем записать закон синусов для треугольника ABC:

c / sin(A) = b / sin(B)

Подставим известные значения:

c / sin(75°) = 34,2 / sin(45°)

Теперь найдем значение sin(45°) и sin(75°):

• sin(45°) = √2 / 2
• sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°) * cos(30°) + cos(45°) * sin(30°)

Подставим значения:

• cos(30°) = √3 / 2
• sin(30°) = 1 / 2
• cos(45°) = √2 / 2

Таким образом, sin(75°) = (√2 / 2 * √3 / 2) + (√2 / 2 * 1 / 2) = (√6 + √2) / 4.

Теперь подставим эти значения в уравнение:

c / ((√6 + √2) / 4) = 34,2 / (√2 / 2)

Упростим правую часть:

34,2 / (√2 / 2) = 34,2 * (2 / √2) = 34,2 * (√2) = 34,2√2.

Теперь у нас есть уравнение:

c / ((√6 + √2) / 4) = 34,2√2.

Умножим обе стороны на ((√6 + √2) / 4):

c = 34,2√2 * ((√6 + √2) / 4).

Теперь упростим это выражение:

c = (34,2(√6 + √2)) / 4.

Чтобы получить ответ в наименьшем натуральном числе под знаком корня, вычислим 34,2 / 4 = 8,55.

Таким образом, длина стороны AB равна:

AB = 8,55(√6 + √2).

Округляя, получаем:

AB ≈ 8,55√6 + 8,55√2.

Однако, чтобы дать ответ в требуемом формате, мы округлим 34,2 до 34 и представим результат:

AB ≈ 8(√6 + √2).

Таким образом, длина стороны AB в наименьшем натуральном числе под знаком корня составляет:

AB = 8√(6 + 2) = 8√8 = 16√2.