Вопрос: Дан треугольник ABC. Длина стороны AC равна 34,2 см, угол B составляет 45°, а угол C равен 60°. Какова длина стороны AB? (Упрощите ответ до наименьшего натурального числа под знаком корня.)
Геометрия9 классТреугольникигеометрия9 класстреугольник ABCдлина стороны ACугол Bугол Cдлина стороны ABзадача на нахождение длины стороныТригонометрияформулы треугольникаупрощение корня
Чтобы найти длину стороны AB в треугольнике ABC, где известны длина стороны AC и углы B и C, мы можем использовать закон синусов. Закон синусов гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника.
Давайте обозначим:
Теперь мы можем записать закон синусов для треугольника ABC:
c / sin(A) = b / sin(B)
Подставим известные значения:
c / sin(75°) = 34,2 / sin(45°)
Теперь найдем значение sin(45°) и sin(75°):
Подставим значения:
Таким образом, sin(75°) = (√2 / 2 * √3 / 2) + (√2 / 2 * 1 / 2) = (√6 + √2) / 4.
Теперь подставим эти значения в уравнение:
c / ((√6 + √2) / 4) = 34,2 / (√2 / 2)
Упростим правую часть:
34,2 / (√2 / 2) = 34,2 * (2 / √2) = 34,2 * (√2) = 34,2√2.
Теперь у нас есть уравнение:
c / ((√6 + √2) / 4) = 34,2√2.
Умножим обе стороны на ((√6 + √2) / 4):
c = 34,2√2 * ((√6 + √2) / 4).
Теперь упростим это выражение:
c = (34,2(√6 + √2)) / 4.
Чтобы получить ответ в наименьшем натуральном числе под знаком корня, вычислим 34,2 / 4 = 8,55.
Таким образом, длина стороны AB равна:
AB = 8,55(√6 + √2).
Округляя, получаем:
AB ≈ 8,55√6 + 8,55√2.
Однако, чтобы дать ответ в требуемом формате, мы округлим 34,2 до 34 и представим результат:
AB ≈ 8(√6 + √2).
Таким образом, длина стороны AB в наименьшем натуральном числе под знаком корня составляет:
AB = 8√(6 + 2) = 8√8 = 16√2.