Апофема боковой грани правильной четырехугольной пирамиды образует с высотой пирамиды угол 60 градусов. Какой объем пирамиды, если длина стороны основания равна 6√3?

Математика 10 класс Объем правильной четырехугольной пирамиды апофема боковой грани правильная четырехугольная пирамида угол 60 градусов объём пирамиды длина стороны основания Новый

Для решения задачи о нахождении объема правильной четырехугольной пирамиды, давайте сначала разберемся с данными и шагами решения.

Дано:

• Длина стороны основания (квадрат) равна 6√3.
• Угол между апофемой боковой грани и высотой пирамиды равен 60 градусов.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) S h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Теперь давайте найдем необходимые значения:

1. Площадь основания: Поскольку основание пирамиды является квадратом со стороной 6√3, его площадь S вычисляется по формуле S = a², где a - длина стороны квадрата.
2. Подставляем значение:
• S = (6√3)² = 36 * 3 = 108.

Теперь нам нужна высота пирамиды h. Для этого используем данные об угле между апофемой и высотой.

1. Находим апофему: Апофема правильной четырехугольной пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания. В нашем случае, это будет равен половине диагонали квадрата.
2. Диагональ квадрата вычисляется по формуле d = a√2, где a - длина стороны квадрата. Подставляем значение:
• d = 6√3 * √2 = 6√6.
3. Половина диагонали (r) равна d/2 = 3√6.

Теперь у нас есть r (половина диагонали) и угол 60 градусов. Используем тригонометрию для нахождения высоты h:

1. Согласно определению косинуса в прямоугольном треугольнике, cos(60°) = h/r.
2. Так как cos(60°) = 1/2, у нас получается:
• 1/2 = h / (3√6).
3. Отсюда h = (3√6) * (1/2) = (3√6)/2.

Теперь мы можем подставить значения S и h в формулу для объема:

1. V = (1/3) * 108 * (3√6)/2.
2. Упрощаем:
• V = (1/3) * 108 * (3√6)/2 = 54 * (3√6)/2 = 81√6.

Итак, объем пирамиды равен 81√6.