Для вычисления объёма правильной четырёхугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Объём V пирамиды можно вычислить по формуле:

где S - площадь основания, а h - высота пирамиды.

Теперь давайте начнём с нахождения площади основания. В нашем случае основание пирамиды - это квадрат, так как это правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания равна 4√2. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

где a - длина стороны квадрата. Подставим значение:

Теперь у нас есть площадь основания S = 32.

Следующий шаг - найти высоту пирамиды h. Мы знаем, что боковое ребро (r) равно 41, а также можем найти длину отрезка, соединяющего вершину пирамиды с центром основания. Этот отрезок будет равен половине диагонали основания.

Диагональ квадрата вычисляется по формуле:

где a - сторона квадрата. Подставим значение:

Половина диагонали будет равна:

Теперь у нас есть два отрезка: высота h и половина диагонали m. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту h:

Подставим известные значения:

Теперь посчитаем:

Вычтем 16 из обеих сторон:

Теперь найдём h:

Теперь, когда у нас есть высота h, мы можем подставить значения в формулу для объёма:

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен:

Это и есть ответ. Если вам нужно численное значение, вы можете вычислить √1665 и подставить его в формулу для объёма.