Математическое ожидание случайной величины – это одно из основных понятий теории вероятностей, которое позволяет оценить среднее значение этой величины в случае многократных экспериментов.

Чтобы понять, что такое математическое ожидание, рассмотрим несколько ключевых моментов:

• Случайная величина: Это величина, значение которой зависит от случайных событий. Например, результат броска кубика или выбор карты из колоды.
• Дискретные и непрерывные случайные величины: Случайные величины могут быть дискретными (принимают конечное или счётное множество значений) и непрерывными (принимают значения из непрерывного диапазона).

Теперь давайте подробнее рассмотрим, как вычисляется математическое ожидание для различных типов случайных величин.

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Для дискретной случайной величины X, которая принимает значения x1, x2, ..., xn с вероятностями p1, p2, ..., pn соответственно, математическое ожидание E(X) вычисляется по формуле:

E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn

Это означает, что мы умножаем каждое значение случайной величины на вероятность его появления и суммируем все полученные произведения.

2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины X, математическое ожидание E(X) вычисляется с использованием интеграла:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

где f(x) – это функция плотности вероятности случайной величины X. Интеграл берется по всему диапазону значений, которые может принимать X.

Пример: Пусть у нас есть дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1, 2 и 3 с вероятностями 0.2, 0.5 и 0.3 соответственно. Тогда математическое ожидание будет вычисляться так:

• E(X) = 1 * 0.2 + 2 * 0.5 + 3 * 0.3
• E(X) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1

Таким образом, математическое ожидание случайной величины дает нам представление о "центре тяжести" распределения вероятностей этой величины. Оно показывает, каково среднее значение, которое мы ожидаем получить, если эксперимент будет повторяться много раз.