Длина сторон треугольника образует арифметическую прогрессию с разностью 2. Косинус наименьшего угла этого треугольника равен 4/5. Какой периметр у этого треугольника?

Математика 10 класс Треугольники и их свойства периметр треугольника арифметическая прогрессия косинус угла математическая задача свойства треугольника Новый

Решим задачу по шагам.

Шаг 1: Обозначим стороны треугольника.

Пусть стороны треугольника обозначим как a, b и c. Поскольку они образуют арифметическую прогрессию с разностью 2, можем записать:

• a = x - 2
• b = x
• c = x + 2

где x - это среднее значение сторон.

Шаг 2: Найдем наименьший угол треугольника.

Наименьший угол будет против наименьшей стороны. В данном случае наименьшая сторона - это a = x - 2. Мы знаем, что косинус наименьшего угла равен 4/5. Используем теорему косинусов:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc),

где A - угол против стороны a.

Шаг 3: Подставим значения.

Подставим a, b и c в формулу:

• cos(A) = (x^2 + (x + 2)^2 - (x - 2)^2) / (2 * x * (x + 2))

Теперь упростим выражение:

• (x^2 + (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4)) = (x^2 + x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4) = x^2 + 8x

Таким образом, у нас получается:

• cos(A) = (x^2 + 8x) / (2x(x + 2))

Шаг 4: Приравняем к косинусу.

Теперь приравняем это выражение к 4/5:

• (x^2 + 8x) / (2x(x + 2)) = 4/5

Умножим обе стороны на 10x(x + 2):

• 5(x^2 + 8x) = 8x(x + 2)

Раскроем скобки:

• 5x^2 + 40x = 8x^2 + 16x

Переносим все в одну сторону:

• 5x^2 + 40x - 8x^2 - 16x = 0
• -3x^2 + 24x = 0

Факторизуем:

• -3x(x - 8) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 8. Поскольку длина стороны не может быть равна 0, принимаем x = 8.

Шаг 5: Найдем длины сторон.

• a = 8 - 2 = 6
• b = 8
• c = 8 + 2 = 10

Шаг 6: Найдем периметр треугольника.

Периметр P = a + b + c:

• P = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: Периметр треугольника равен 24.