Чтобы выяснить, существует ли такое натуральное число, которое удовлетворяет всем условиям, давайте обозначим это число через x.

Теперь запишем условия, которые даны в задаче:

• Увеличение x в 12 раз дает куб: 12x = a^3 (где a - целое число).
• Увеличение x в 20 раз дает пятую степень: 20x = b^5 (где b - целое число).
• Увеличение x в 28 раз дает седьмую степень: 28x = c^7 (где c - целое число).

Теперь выразим x из каждого из этих уравнений:

• Из первого уравнения: x = a^3 / 12
• Из второго уравнения: x = b^5 / 20
• Из третьего уравнения: x = c^7 / 28

Теперь мы можем приравнять все три выражения для x:

Чтобы решить эту систему, давайте найдем общее значение для x. Для этого нам нужно выразить x через одно из чисел. Например, найдем значение x через c:

Из третьего уравнения:

Теперь подставим это значение в остальные уравнения:

• 12(c^7 / 28) = a^3
• 20(c^7 / 28) = b^5

Упростим эти уравнения:

• c^7 / 28 = a^3 / 12 => c^7 = (28/12) * a^3 = (7/3) * a^3
• c^7 / 28 = b^5 / 20 => c^7 = (28/20) * b^5 = (7/5) * b^5

Теперь у нас есть два уравнения, связывающие a, b и c. Мы можем выразить c через a и b:

Решая эти уравнения, мы можем заметить, что значения a, b и c должны быть такими, чтобы c^7 делилось на 28 и одновременно удовлетворяло условиям куба и пятой степени.

Однако, при анализе чисел, удовлетворяющих этим условиям, мы можем заметить, что такие натуральные числа, которые одновременно являются кубами, пятыми и седьмыми степенями, существуют только для определенных значений. Например, 1 и 0 (но 0 не натуральное число).

Таким образом, при попытке найти такое натуральное число, удовлетворяющее всем условиям, можно прийти к выводу, что натуральное число, которое удовлетворяет всем данным условиям, не существует.

Следовательно, можно сказать, что Дождливая Аня ошибается.