Как можно доказать, что выражение ab(a^4-b^4) делится на 30 для любых натуральных a и b?

Математика 10 класс Делимость чисел доказательство делимости выражение ab(a^4-b^4) натуральные a и b делимость на 30 свойства чисел Новый

Для доказательства того, что выражение ab(a^4-b^4) делится на 30 для любых натуральных a и b, необходимо показать, что оно делится на 2, 3 и 5, поскольку 30 = 2 * 3 * 5.

Рассмотрим выражение ab(a^4-b^4) более подробно:

• Шаг 1: Делимость на 2
  • Произведение ab будет четным, если хотя бы одно из чисел a или b четное.
  • Разность a^4 - b^4 может быть представлена как (a^2 - b^2)(a^2 + b^2).
  • Если a и b оба нечетные, то a^2 - b^2 будет четным, так как разность двух нечетных чисел четная.
  • Таким образом, в любом случае ab(a^4-b^4) делится на 2.
• Шаг 2: Делимость на 3
  • По теореме о делимости, если одно из чисел a или b делится на 3, то ab делится на 3.
  • Если ни a, ни b не делятся на 3, то оба числа могут быть представлены как 1 или 2 по модулю 3.
  • В этом случае, a^4 и b^4 также будут равны 1 по модулю 3, что делает a^4 - b^4 равным 0 по модулю 3.
  • Следовательно, ab(a^4-b^4) делится на 3.
• Шаг 3: Делимость на 5
  • Аналогично предыдущим шагам, если хотя бы одно из чисел a или b делится на 5, то ab делится на 5.
  • Если ни a, ни b не делятся на 5, то оба числа могут быть 1, 2, 3 или 4 по модулю 5.
  • В этом случае, a^4 и b^4 будут равны 1 по модулю 5 (так как 1^4 = 1, 2^4 = 16 ≡ 1, 3^4 = 81 ≡ 1, 4^4 = 256 ≡ 1).
  • Таким образом, a^4 - b^4 будет равным 0 по модулю 5, и ab(a^4-b^4) делится на 5.

Таким образом, выражение ab(a^4-b^4) делится на 2, 3 и 5, что в свою очередь доказывает, что оно делится на 30 для любых натуральных a и b.