Как можно доказать тождество 1 + tga / 1 + ctga = tga?

Математика 10 класс Тригонометрические тождества тождество доказательство математика 10 класс Тригонометрия тангенс котангенс алгебраические преобразования уравнения математические свойства Новый

Чтобы доказать тождество 1 + tg(a) / 1 + ctg(a) = tg(a), мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и алгебраическими преобразованиями. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Запишем определение тангенса и котангенса:
   • tg(a) = sin(a) / cos(a)
   • ctg(a) = cos(a) / sin(a)
2. Подставим эти определения в левую часть тождества:

   Левая часть: (1 + tg(a)) / (1 + ctg(a))

   Это будет выглядеть так:

   (1 + sin(a) / cos(a)) / (1 + cos(a) / sin(a))

3. Приведем к общему знаменателю:
   • В числителе:

   1 = cos(a) / cos(a), поэтому:

   1 + tg(a) = (cos(a) + sin(a)) / cos(a)

   • В знаменателе:

   1 = sin(a) / sin(a), поэтому:

   1 + ctg(a) = (sin(a) + cos(a)) / sin(a)

4. Теперь подставим эти выражения в нашу дробь:

   Левая часть становится:

   ((cos(a) + sin(a)) / cos(a)) / ((sin(a) + cos(a)) / sin(a))

5. Упрощаем дробь:

   Это можно записать как:

   (cos(a) + sin(a)) / cos(a) * (sin(a) / (sin(a) + cos(a)))

   Так как (cos(a) + sin(a)) = (sin(a) + cos(a)), то мы можем сократить:

   Получаем: sin(a) / cos(a) = tg(a)

6. Таким образом, мы пришли к тому, что:

   1 + tg(a) / 1 + ctg(a) = tg(a)

Таким образом, мы доказали, что тождество 1 + tg(a) / 1 + ctg(a) = tg(a) верно.