Похожие вопросы
2024-11-16 10:16:21
Как можно доказать тождество 1 + tga / 1 + ctga = tga?
Математика 10 класс Тригонометрические тождества тождество доказательство математика 10 класс Тригонометрия тангенс котангенс алгебраические преобразования уравнения математические свойства
2024-11-30 18:38:48
Чтобы доказать тождество 1 + tg(a) / 1 + ctg(a) = tg(a), мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и алгебраическими преобразованиями. Давайте разберем это шаг за шагом.
- Запишем определение тангенса и котангенса:
- tg(a) = sin(a) / cos(a)
- ctg(a) = cos(a) / sin(a)
- Подставим эти определения в левую часть тождества:
Левая часть: (1 + tg(a)) / (1 + ctg(a))
Это будет выглядеть так:
(1 + sin(a) / cos(a)) / (1 + cos(a) / sin(a))
- Приведем к общему знаменателю:
- В числителе:
- В знаменателе:
1 = cos(a) / cos(a), поэтому:
1 + tg(a) = (cos(a) + sin(a)) / cos(a)
1 = sin(a) / sin(a), поэтому:
1 + ctg(a) = (sin(a) + cos(a)) / sin(a)
- Теперь подставим эти выражения в нашу дробь:
Левая часть становится:
((cos(a) + sin(a)) / cos(a)) / ((sin(a) + cos(a)) / sin(a))
- Упрощаем дробь:
Это можно записать как:
(cos(a) + sin(a)) / cos(a) * (sin(a) / (sin(a) + cos(a)))
Так как (cos(a) + sin(a)) = (sin(a) + cos(a)), то мы можем сократить:
Получаем: sin(a) / cos(a) = tg(a)
- Таким образом, мы пришли к тому, что:
1 + tg(a) / 1 + ctg(a) = tg(a)
Таким образом, мы доказали, что тождество 1 + tg(a) / 1 + ctg(a) = tg(a) верно.
