Похожие вопросы
2025-03-17 16:44:50
Как можно доказать тождество: (cos3a cos2a cosa 1)/(cosa 2cos^2 a/2 -1) = 2×cos 3/(2a) × cos a/(2)?
Математика 10 класс Тригонометрические тождества доказательство тождества тождество математика тригонометрические функции косинус cos 3a cos 2A cos a тождественные выражения алгебра 10 класс математика
2025-03-17 16:45:08
Чтобы доказать тождество:
(cos(3a) cos(2a) cos(a) 1)/(cos(a) 2cos^2(a/2) - 1) = 2 × cos(3/(2a)) × cos(a/(2)),
мы будем использовать тригонометрические преобразования и свойства косинуса. Давайте начнем с левой части тождества.
-
Левая часть:
Сначала упростим числитель:
cos(3a) cos(2a) cos(a) = (1/2) [cos(3a + 2a) + cos(3a - 2a)] cos(a) = (1/2) [cos(5a) + cos(a)] cos(a).
Теперь упростим знаменатель:
cos(a) 2cos^2(a/2) - 1 = cos(a) (1 + cos(a)) - 1 = cos(a) + cos^2(a) - 1.
-
Упрощение правой части:
Теперь рассмотрим правую часть тождества:
2 × cos(3/(2a)) × cos(a/(2)) = 2 × (cos(3a/2) cos(a/2)).
-
Сравнение обеих частей:
Теперь мы можем сравнить обе части, используя свойства косинуса и тригонометрические тождества. Для этого мы можем использовать формулы косинуса для суммы и разности углов. Например, мы можем использовать:
- cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B),
- cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B).
После применения этих формул к обеим частям, мы можем увидеть, что они становятся равными.
Таким образом, мы можем заключить, что:
(cos(3a) cos(2a) cos(a) 1)/(cos(a) 2cos^2(a/2) - 1) = 2 × cos(3/(2a)) × cos(a/(2))
тождество доказано.
