Решение неравенства х(х-4)/(2х+3)(7-х) с использованием метода интервалов включает несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Для начала определим, когда числитель и знаменатель равны нулю.

• Числитель: х(х-4) = 0
  • х = 0
  • х - 4 = 0 => х = 4
• Знаменатель: (2х + 3)(7 - х) = 0
  • 2х + 3 = 0 => 2х = -3 => х = -3/2
  • 7 - х = 0 => х = 7

Мы нашли следующие критические точки: х = -3/2, х = 0, х = 4, х = 7. Эти точки разделят числовую прямую на интервалы.

Критические точки делят числовую прямую на следующие интервалы:

• (-∞, -3/2)
• (-3/2, 0)
• (0, 4)
• (4, 7)
• (7, +∞)

Теперь выберем по одной тестовой точке из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -3/2) можно взять х = -2
• Для интервала (-3/2, 0) можно взять х = -1
• Для интервала (0, 4) можно взять х = 1
• Для интервала (4, 7) можно взять х = 5
• Для интервала (7, +∞) можно взять х = 8

Теперь подставим выбранные тестовые точки в выражение х(х-4)/(2х+3)(7-х) и определим знак:

• Для х = -2:
  • знак = (+)(+)/(+)(+) = +
• Для х = -1:
  • знак = (-)(-)/(+)(+) = +
• Для х = 1:
  • знак = (+)(-)/(+)(-) = -
• Для х = 5:
  • знак = (+)(-)/(+)(-) = -
• Для х = 8:
  • знак = (+)(-)/(+)(-) = -

Теперь, основываясь на полученных знаках, мы можем составить таблицу:

• (-∞, -3/2): знак +
• (-3/2, 0): знак +
• (0, 4): знак -
• (4, 7): знак -
• (7, +∞): знак -

Теперь мы можем записать решение неравенства. Мы ищем, где выражение больше нуля:

• Решение: (-∞, -3/2) U (-3/2, 0)

Не забудьте, что критические точки, где знаменатель равен нулю, не входят в решение. Таким образом, окончательное решение неравенства:

• (-∞, -3/2) U (-3/2, 0)

Это и есть ответ на ваше неравенство х(х-4)/(2х+3)(7-х) > 0, найденное с помощью метода интервалов.