Как можно задать линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку А(3; -1) и не имеет общих точек с графиком функции y = -x + 3? Найдите точки пересечения полученной функции с осями координат и постройте эту прямую.

Математика 10 класс Линейные функции линейная функция график функции точка А(3; -1) пересечение с осями функция y = -x + 3 Новый

Для того чтобы задать линейную функцию, которая проходит через точку A(3; -1) и не пересекается с графиком функции y = -x + 3, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение наклона

График функции y = -x + 3 имеет наклон -1. Чтобы избежать пересечения с этой прямой, наша новая функция должна иметь наклон, который либо больше 1, либо меньше -1. Например, мы можем выбрать наклон 2 (больше 1).

Шаг 2: Составление уравнения

Общая форма уравнения линейной функции выглядит так:

y = kx + b

где k - наклон, b - свободный член. Мы уже выбрали наклон k = 2.

Теперь подставим координаты точки A(3; -1) в уравнение, чтобы найти b:

• Подставляем x = 3 и y = -1:
• -1 = 2 * 3 + b
• -1 = 6 + b
• b = -1 - 6 = -7

Таким образом, уравнение нашей функции:

y = 2x - 7

Шаг 3: Проверка на пересечение

Теперь убедимся, что эта функция не пересекается с y = -x + 3. Для этого приравняем их:

• 2x - 7 = -x + 3
• 2x + x = 3 + 7
• 3x = 10
• x = 10/3

Теперь подставим x = 10/3 в одно из уравнений, чтобы найти y:

• y = 2 * (10/3) - 7 = 20/3 - 21/3 = -1

Мы видим, что обе функции пересекаются в точке (10/3; -1), что не соответствует нашему условию. Поэтому мы должны изменить наклон.

Шаг 4: Изменение наклона

Выберем наклон, например, -2:

y = -2x + b

Подставим точку A(3; -1):

• -1 = -2 * 3 + b
• -1 = -6 + b
• b = -1 + 6 = 5

Теперь у нас есть новое уравнение:

y = -2x + 5

Шаг 5: Проверка на пересечение

Теперь проверим, пересекается ли эта функция с y = -x + 3:

• -2x + 5 = -x + 3
• -2x + x = 3 - 5
• -x = -2
• x = 2

Теперь подставим x = 2 в одно из уравнений:

• y = -2 * 2 + 5 = -4 + 5 = 1

Таким образом, функции пересекаются в точке (2; 1), что также не удовлетворяет условиям.

Шаг 6: Подбор наклона

Попробуем наклон -3:

y = -3x + b

Подставим A(3; -1):

• -1 = -3 * 3 + b
• -1 = -9 + b
• b = 8

Теперь у нас есть уравнение:

y = -3x + 8

Шаг 7: Проверка на пересечение

Проверяем пересечение:

• -3x + 8 = -x + 3
• -3x + x = 3 - 8
• -2x = -5
• x = 5/2

Подставляем x = 5/2:

• y = -3 * (5/2) + 8 = -15/2 + 16/2 = 1/2

Теперь у нас есть точка пересечения (5/2; 1/2), что также не удовлетворяет условиям.

Шаг 8: Подбор наклона

Выберем наклон 1/2:

y = 1/2 * x + b

Подставим A(3; -1):

• -1 = 1/2 * 3 + b
• -1 = 3/2 + b
• b = -1 - 3/2 = -5/2

Теперь у нас есть уравнение:

y = 1/2 * x - 5/2

Шаг 9: Найдем точки пересечения с осями координат

• С осью Y: Подставим x = 0:
• y = 1/2 * 0 - 5/2 = -5/2
• С осью X: Подставим y = 0:
• 0 = 1/2 * x - 5/2
• 1/2 * x = 5/2
• x = 5

Таким образом, точки пересечения:

• С осью Y: (0; -5/2)
• С осью X: (5; 0)

Шаг 10: Построение графика

Теперь можно построить график функции y = 1/2 * x - 5/2, используя найденные точки пересечения:

• Точка A(3; -1)
• Точка пересечения с осью Y (0; -5/2)
• Точка пересечения с осью X (5; 0)

Это завершает задачу. Мы нашли линейную функцию, которая проходит через заданную точку и не пересекается с графиком другой функции.