Как найти решение неравенства 3/(x - 3) > 1/(x + 2)?

Математика 10 класс Неравенства неравенство решение неравенства математика 10 класс дробное неравенство алгебра математические задачи неравенства с дробями Новый

Чтобы решить неравенство 3/(x - 3) > 1/(x + 2), начнем с того, что для удобства мы можем привести обе части неравенства к общему знаменателю. Для этого сначала выразим неравенство так:

3/(x - 3) - 1/(x + 2) > 0.

Теперь найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель будет равен (x - 3)(x + 2). Теперь перепишем дроби с этим знаменателем:

3/(x - 3) = 3(x + 2)/((x - 3)(x + 2)) = (3x + 6)/((x - 3)(x + 2)),

1/(x + 2) = 1(x - 3)/((x + 2)(x - 3)) = (x - 3)/((x + 2)(x - 3)).

Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

(3x + 6)/((x - 3)(x + 2)) - (x - 3)/((x + 2)(x - 3)) > 0.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

(3x + 6 - (x - 3))/((x - 3)(x + 2)) > 0.

Упростим числитель:

3x + 6 - x + 3 = 2x + 9.

Таким образом, наше неравенство принимает вид:

(2x + 9)/((x - 3)(x + 2)) > 0.

Теперь мы должны определить, при каких значениях x дробь (2x + 9)/((x - 3)(x + 2)) положительна. Для этого найдем нули числителя и знаменателя:

• Числитель: 2x + 9 = 0 → 2x = -9 → x = -9/2.
• Знаменатель:
  • x - 3 = 0 → x = 3;
  • x + 2 = 0 → x = -2.

Теперь у нас есть три ключевых значения: x = -9/2, x = -2, x = 3. Эти значения разделяют числовую прямую на четыре интервала:

• (-∞, -9/2);
• (-9/2, -2);
• (-2, 3);
• (3, +∞).

Теперь проверим знак дроби на каждом из этих интервалов:

1. Интервал (-∞, -9/2): Пусть x = -5. Тогда (2*(-5) + 9)/((-5 - 3)(-5 + 2)) = (-10 + 9)/((-8)(-3)) = -1/24 < 0.
2. Интервал (-9/2, -2): Пусть x = -4. Тогда (2*(-4) + 9)/((-4 - 3)(-4 + 2)) = (-8 + 9)/((-7)(-2)) = 1/14 > 0.
3. Интервал (-2, 3): Пусть x = 0. Тогда (2*0 + 9)/((0 - 3)(0 + 2)) = 9/(-3*2) = -3 < 0.
4. Интервал (3, +∞): Пусть x = 4. Тогда (2*4 + 9)/((4 - 3)(4 + 2)) = (8 + 9)/(1*6) = 17/6 > 0.

Теперь мы знаем знаки дроби на каждом интервале:

• (-∞, -9/2): отрицательно;
• (-9/2, -2): положительно;
• (-2, 3): отрицательно;
• (3, +∞): положительно.

Теперь мы можем записать ответ. Неравенство (2x + 9)/((x - 3)(x + 2)) > 0 выполняется на интервалах:

x ∈ (-9/2, -2) ∪ (3, +∞).

Таким образом, решение неравенства 3/(x - 3) > 1/(x + 2) — это:

x ∈ (-9/2, -2) ∪ (3, +∞).