Для решения задачи начнем с определения общего члена арифметической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Тогда любой член прогрессии можно выразить следующим образом:

• a_n = a + (n - 1)d

Теперь запишем данные условия задачи, используя формулу для членов прогрессии:

1. Для условия a₈ + a₁₂ - a₁₅ = 3:
• a₈ = a + 7d
• a₁₂ = a + 11d
• a₁₅ = a + 14d
2. Подставим эти выражения в уравнение:
• (a + 7d) + (a + 11d) - (a + 14d) = 3
• 2a + 4d - a - 14d = 3
• a - 10d = 3

Таким образом, мы получили первое уравнение:

2. Теперь рассмотрим второе условие a₇ + a₁₃ = 21:
• a₇ = a + 6d
• a₁₃ = a + 12d
3. Подставим эти выражения в уравнение:
• (a + 6d) + (a + 12d) = 21
• 2a + 18d = 21

Таким образом, мы получили второе уравнение:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• (1) a - 10d = 3
• (2) 2a + 18d = 21

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим a:

• a = 10d + 3

Теперь подставим это выражение для a во второе уравнение:

• 2(10d + 3) + 18d = 21
• 20d + 6 + 18d = 21
• 38d + 6 = 21
• 38d = 15
• d = 15 / 38

Теперь подставим значение d обратно в выражение для a:

• a = 10(15 / 38) + 3 = 150 / 38 + 114 / 38 = 264 / 38 = 66 / 19

Теперь у нас есть значения для a и d. Следующим шагом найдем сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:

Подставим значения:

• n = 18
• S₁₈ = 18/2 * (2(66/19) + (18 - 1)(15/38))

Теперь вычислим:

• S₁₈ = 9 * (132/19 + 17 * 15/38)
• 17 * 15/38 = 255/38
• 132/19 = 264/38

Теперь сложим:

• 264/38 + 255/38 = 519/38

Подставляем в формулу суммы:

• S₁₈ = 9 * (519/38) = 4671 / 38

Таким образом, сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии составляет 4671 / 38.