Как привести уравнение кривых второго порядка к каноническому виду?

Что нужно найти:

1. оси, вершины, фокусы, эксцентриситет для эллипса;
2. оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты для гиперболы;
3. фокус, директрису, вершину для параболы.

(x^2)-4x-(3y^2)-6y-9=0

Математика 10 класс Уравнения кривых второго порядка уравнение кривых второго порядка канонический вид эллипс гипербола парабола фокусы эксцентриситет директрисса вершины асимптоты Новый

Для приведения уравнения кривых второго порядка к каноническому виду, необходимо выполнить несколько шагов, включая группировку и выделение полного квадрата. В данном случае, у нас есть уравнение:

(x^2) - 4x - (3y^2) - 6y - 9 = 0

Первым шагом мы перенесем все члены на одну сторону уравнения:

(x^2) - 4x - (3y^2) - 6y = 9

Теперь мы сгруппируем члены по x и y:

(x^2 - 4x) - 3(y^2 + 2y) = 9

Следующий шаг - выделение полного квадрата.

Для x:

• У нас есть выражение x^2 - 4x. Мы можем добавить и вычесть (4/2)^2 = 4:
• (x^2 - 4x + 4 - 4) = (x - 2)^2 - 4

Для y:

• У нас есть выражение y^2 + 2y. Мы можем добавить и вычесть (2/2)^2 = 1:
• (y^2 + 2y + 1 - 1) = (y + 1)^2 - 1

Теперь подставим обратно в уравнение:

((x - 2)^2 - 4) - 3((y + 1)^2 - 1) = 9

Упростим уравнение:

((x - 2)^2 - 4) - 3(y + 1)^2 + 3 = 9

Это приводит нас к:

((x - 2)^2 - 3(y + 1)^2) - 1 = 9

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 10

Теперь мы можем привести уравнение к каноническому виду:

(x - 2)^2 / 10 - (y + 1)^2 / (10/3) = 1

Это уравнение гиперболы. Теперь мы можем найти необходимые элементы:

1. Оси:

• Горизонтальная ось: x-ось.
• Вертикальная ось: y-ось.

2. Вершины:

• Вершины находятся на расстоянии корень из 10 от центра (2, -1): (2 ± корень из 10, -1).

3. Фокусы:

• Фокусы находятся на расстоянии c = корень из (a^2 + b^2) от центра:
• a = корень из 10, b = корень из (10/3), c = корень из (10 + 10/3) = корень из (40/3).
• Фокусы: (2 ± корень из (40/3), -1).

4. Эксцентриситет:

• Эксцентриситет e = c/a = корень из (40/30) = корень из (4/3).

5. Асимптоты:

• Асимптоты для гиперболы имеют уравнения y + 1 = ±(корень из (10/3)/корень из 10)(x - 2).

Таким образом, мы привели уравнение гиперболы к каноническому виду и нашли необходимые элементы.