Как сделать эскиз заданных кривых, выделив полные квадраты, и записать канонические уравнения данных кривых: 2x^2-4x+3y^2+6y-1=0 и 3x^2+6x-4y^2+8y-6=0?

Математика 10 класс Уравнения кривых второго порядка эскиз кривых канонические уравнения полные квадраты математика графики уравнений Новый

Привет! Давай вместе разберемся с этими уравнениями и создадим эскиз кривых! Это очень увлекательно!

Шаг 1: Приведение уравнений к каноническому виду

Начнем с первого уравнения: 2x^2 - 4x + 3y^2 + 6y - 1 = 0.

1. Соберем все члены уравнения: 2x^2 - 4x + 3y^2 + 6y = 1.
2. Теперь выделим полные квадраты:
• Для x: 2(x^2 - 2x) → 2((x-1)^2 - 1) = 2(x-1)^2 - 2.
• Для y: 3(y^2 + 2y) → 3((y+1)^2 - 1) = 3(y+1)^2 - 3.
3. Теперь подставим обратно:
2((x-1)^2 - 1) + 3((y+1)^2 - 1) = 1.
4. Упрощаем: 2(x-1)^2 + 3(y+1)^2 - 5 = 1.
5. Итак, каноническое уравнение: 2(x-1)^2 + 3(y+1)^2 = 6.

Теперь перейдем ко второму уравнению: 3x^2 + 6x - 4y^2 + 8y - 6 = 0.

1. Соберем все члены уравнения: 3x^2 + 6x - 4y^2 + 8y = 6.
2. Выделим полные квадраты:
• Для x: 3(x^2 + 2x) → 3((x+1)^2 - 1) = 3(x+1)^2 - 3.
• Для y: -4(y^2 - 2y) → -4((y-1)^2 - 1) = -4(y-1)^2 + 4.
3. Подставляем обратно:
3((x+1)^2 - 1) - 4((y-1)^2 - 1) = 6.
4. Упрощаем: 3(x+1)^2 - 4(y-1)^2 - 3 = 6.
5. Итак, каноническое уравнение: 3(x+1)^2 - 4(y-1)^2 = 9.

Шаг 2: Построение эскиза кривых

Теперь, когда у нас есть канонические уравнения, можно сделать эскиз:

• Для первого уравнения: эллипс с центром в точке (1, -1).
• Для второго уравнения: гипербола с центром в точке (-1, 1).

Чтобы нарисовать эти кривые, нужно:

1. Нанести на координатную сетку центры кривых.
2. Для эллипса: нарисовать овал, соблюдая пропорции по осям.
3. Для гиперболы: нарисовать две ветви, расходящиеся от центра.

Вот и все! Теперь ты знаешь, как выделить полные квадраты и записать канонические уравнения кривых, а также как сделать их эскиз. Удачи в рисовании!