Как решить неравенства:

1. а) -4 < 3x + 2 < 6
2. б) (x + 1)x(x - 2)(2x + 5) > 0
3. в) (x - 4) / (x - 5) > 0

Математика 10 класс Неравенства решение неравенств математические неравенства неравенства с переменной методы решения неравенств системы неравенств алгебраические неравенства графики неравенств интервал решения неравенств Новый

Давайте разберем каждое из предложенных неравенств по порядку.

а) -4 < 3x + 2 < 6

Это неравенство состоит из двух частей. Мы можем решить его, разбив на два отдельных неравенства:

1. -4 < 3x + 2
2. 3x + 2 < 6

Теперь решим каждое из них по отдельности.

1. Решим первое неравенство:
• Вычтем 2 из обеих сторон: -4 - 2 < 3x, что дает -6 < 3x.
• Теперь разделим обе стороны на 3: -2 < x.
2. Решим второе неравенство:
• Вычтем 2 из обеих сторон: 3x < 6 - 2, что дает 3x < 4.
• Теперь разделим обе стороны на 3: x < 4/3.

Теперь мы объединим полученные результаты:

-2 < x < 4/3

б) (x + 1)x(x - 2)(2x + 5) > 0

Для решения этого неравенства найдем нули функции, т.е. значения x, при которых произведение равно нулю:

1. x + 1 = 0 → x = -1
2. x = 0
3. x - 2 = 0 → x = 2
4. 2x + 5 = 0 → x = -5/2

Таким образом, нули функции: x = -5/2, x = -1, x = 0, x = 2.

Теперь мы можем построить числовую прямую и определить знаки в каждом интервале, который образуют эти нули:

• (-∞, -5/2)
• (-5/2, -1)
• (-1, 0)
• (0, 2)
• (2, +∞)

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала в исходное неравенство, чтобы определить знак:

• Для x < -5/2: например, x = -3 → положительное.
• Для -5/2 < x < -1: например, x = -2 → отрицательное.
• Для -1 < x < 0: например, x = -0.5 → положительное.
• Для 0 < x < 2: например, x = 1 → положительное.
• Для x > 2: например, x = 3 → положительное.

Таким образом, решение неравенства будет в интервалах:

x ∈ (-∞, -5/2) ∪ (-1, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞)

в) (x - 4) / (x - 5) > 0

Для решения этого неравенства найдем, при каких значениях x дробь положительна. Сначала определим нули числителя и знаменателя:

• Числитель: x - 4 = 0 → x = 4.
• Знаменатель: x - 5 = 0 → x = 5.

Теперь мы имеем два критических значения: x = 4 и x = 5. Определим знаки дроби в интервалах:

• (-∞, 4)
• (4, 5)
• (5, +∞)

Тестируем значения из каждого интервала:

• Для x < 4: например, x = 0 → (0 - 4)/(0 - 5) = 4/5 > 0.
• Для 4 < x < 5: например, x = 4.5 → (4.5 - 4)/(4.5 - 5) = 0.5/-0.5 < 0.
• Для x > 5: например, x = 6 → (6 - 4)/(6 - 5) = 2 > 0.

Таким образом, дробь положительна в интервалах:

x ∈ (-∞, 4) ∪ (5, +∞)

Таким образом, мы нашли решения для всех трех неравенств.