Как решить неравенство:

√x^2-9(x^2-4x+4)<=0

Математика 10 класс Неравенства решение неравенства математика квадратный корень алгебраические выражения неравенства x^2-9 x^2-4x+4 Новый

Для решения неравенства √(x² - 9)(x² - 4x + 4) ≤ 0, давайте разберем его по шагам.

1. Определим область определения.

   Чтобы подкоренное выражение было определено, необходимо, чтобы x² - 9 ≥ 0. Это неравенство можно решить следующим образом:

   • x² - 9 = 0 → x² = 9 → x = ±3.
   • Решим неравенство x² - 9 ≥ 0. Это значит, что x ≤ -3 или x ≥ 3.

   Таким образом, область определения: x ≤ -3 или x ≥ 3.

2. Упростим второе выражение.

   Рассмотрим выражение x² - 4x + 4. Это можно записать как (x - 2)². Таким образом, неравенство принимает вид:

   √(x² - 9) * (x - 2)² ≤ 0.

3. Анализируем произведение.

   Чтобы произведение √(x² - 9) и (x - 2)² было меньше или равно нулю, необходимо, чтобы одно из множителей было равно нулю, а другой - положителен.

   • √(x² - 9) = 0, когда x² - 9 = 0 → x = ±3.
   • (x - 2)² всегда неотрицательно, и равно нулю только при x = 2.

   Однако, x = 2 не входит в область определения, так как 2 не удовлетворяет условию x ≤ -3 или x ≥ 3.

4. Определяем знаки произведения.

   Теперь давайте проанализируем знаки выражения в интервалах, которые мы получили из области определения:

   • Для x < -3: √(x² - 9) > 0 и (x - 2)² ≥ 0, следовательно, произведение > 0.
   • Для x = -3: √(x² - 9) = 0 и (x - 2)² = 25, следовательно, произведение = 0.
   • Для x > 3: √(x² - 9) > 0 и (x - 2)² ≥ 0, следовательно, произведение > 0.
5. Записываем ответ.

   Таким образом, единственное значение, при котором неравенство выполняется, это x = -3. В остальном, произведение всегда положительно.

   Ответ: x = -3.