Как решить уравнение 3^5x - 4 = 81^x + 3?

Математика 10 класс Уравнения с показателями решение уравнения уравнение 3^5x 81^x математика алгебра математические задачи exponentiation методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 3^(5x) - 4 = 81^x + 3, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Первым делом заметим, что 81 можно выразить через 3:

• 81 = 3^4

Таким образом, мы можем переписать 81^x как (3^4)^x = 3^(4x).

Теперь подставим это в уравнение:

3^(5x) - 4 = 3^(4x) + 3

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

3^(5x) - 3^(4x) - 4 - 3 = 0

Упрощаем:

3^(5x) - 3^(4x) - 7 = 0

Теперь заметим, что 3^(5x) и 3^(4x) имеют общий множитель 3^(4x). Вынесем его за скобки:

3^(4x) * (3^x - 1) - 7 = 0

Теперь у нас есть произведение, равное 7:

3^(4x) * (3^x - 1) = 7

Теперь можно рассмотреть два случая:

1. Когда 3^(4x) = 7
2. Когда 3^x - 1 = 0

Решим первый случай:

3^(4x) = 7

Чтобы найти x, берем логарифм:

4x * log(3) = log(7)

Следовательно:

x = log(7) / (4 * log(3))

Теперь решим второй случай:

3^x - 1 = 0

Отсюда следует, что:

3^x = 1

Это возможно, только если x = 0.

Таким образом, мы получили два решения:

• x = log(7) / (4 * log(3))
• x = 0

Проверим оба решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они верны:

Первое решение требует подстановки значения x в уравнение, чтобы проверить, равны ли обе стороны. Второе решение x = 0 также можно проверить:

3^(5*0) - 4 = 81^0 + 3

1 - 4 = 1 + 3

-3 = 4 (ложное равенство, значит, это решение не подходит)

Таким образом, единственное действительное решение:

• x = log(7) / (4 * log(3))