Как решить уравнение |3-x|+|2x-4|-|x+4|=2x+4?

Математика 10 класс Уравнения с модулями решение уравнения математика 10 класс модули алгебра уравнения с модулями Новый

Привет! Давай решим это уравнение вместе! Уравнения с модулями могут показаться сложными, но если подойти к ним с энтузиазмом, все получится!

Мы имеем уравнение:

|3-x| + |2x-4| - |x+4| = 2x + 4

Первый шаг — определить, в каких интервалах мы будем рассматривать это уравнение. Модули меняют своё значение в зависимости от знака выражений внутри них. Давай найдем ключевые точки:

• 3-x = 0 → x = 3
• 2x-4 = 0 → x = 2
• x+4 = 0 → x = -4

Теперь у нас есть три ключевые точки: -4, 2 и 3. Это делит ось на четыре интервала:

• x < -4
• -4 ≤ x < 2
• 2 ≤ x < 3
• x ≥ 3

Теперь давай рассмотрим каждый интервал по отдельности!

1. Интервал 1: x < -4

В этом интервале все выражения под модулями отрицательные:

Тогда: |3-x| = 3-x, |2x-4| = -2x+4, |x+4| = -x-4.

Подставляем в уравнение:

(3-x) + (-2x+4) - (-x-4) = 2x + 4

Упрощаем:

3 - x - 2x + 4 + x + 4 = 2x + 4

11 - 2x = 2x + 4

11 - 4 = 4x

7 = 4x → x = 7/4 (не подходит, так как 7/4 > -4)

2. Интервал 2: -4 ≤ x < 2

Здесь: |3-x| = 3-x, |2x-4| = -2x+4, |x+4| = x+4.

Подставляем:

(3-x) + (-2x+4) - (x+4) = 2x + 4

Упрощаем:

3 - x - 2x + 4 - x - 4 = 2x + 4

3 - 4 = 4x

-1 = 4x → x = -1/4 (подходит, так как -1/4 в интервале)

3. Интервал 3: 2 ≤ x < 3

Здесь: |3-x| = 3-x, |2x-4| = 2x-4, |x+4| = x+4.

Подставляем:

(3-x) + (2x-4) - (x+4) = 2x + 4

Упрощаем:

3 - x + 2x - 4 - x - 4 = 2x + 4

-5 = 4 (неверное равенство, значит, здесь решений нет)

4. Интервал 4: x ≥ 3

Здесь: |3-x| = x-3, |2x-4| = 2x-4, |x+4| = x+4.

Подставляем:

(x-3) + (2x-4) - (x+4) = 2x + 4

Упрощаем:

x - 3 + 2x - 4 - x - 4 = 2x + 4

-11 = 4 (также неверное равенство)

Итак, мы нашли одно решение: x = -1/4 в интервале -4 ≤ x < 2. Давай проверим это значение в исходном уравнении!

Подставляем x = -1/4:

|3 - (-1/4)| + |2*(-1/4) - 4| - |(-1/4) + 4| = 2*(-1/4) + 4

Упрощаем и проверяем, равен ли левый и правый части уравнения.

Если все правильно, то это решение — наш победный результат! Ура!

Надеюсь, это было полезно! Если есть вопросы, смело спрашивай!