Какова сумма 30 первых членов арифметической прогрессии с чётными номерами, если a1 + a5 = 20 и a2 + a3 = 17?

Математика 10 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии чётные номера математика 10 класс задача на прогрессию Новый

Для того чтобы найти сумму 30 первых членов арифметической прогрессии с чётными номерами, сначала определим необходимые параметры этой прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии как a1, а разность прогрессии как d. Тогда можно записать:

• a1 = a1
• a2 = a1 + d
• a3 = a1 + 2d
• a4 = a1 + 3d
• a5 = a1 + 4d

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a1 + a5 = 20
2. a2 + a3 = 17

Подставим значения a5 и a2, a3 в уравнения:

• Первое уравнение: a1 + (a1 + 4d) = 20
• Это упрощается до: 2a1 + 4d = 20.
• Разделим всё на 2: a1 + 2d = 10. (1)

• Второе уравнение: (a1 + d) + (a1 + 2d) = 17
• Это упрощается до: 2a1 + 3d = 17. (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a1 + 2d = 10
2. 2a1 + 3d = 17

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим a1:

a1 = 10 - 2d. (3)

Теперь подставим (3) во второе уравнение:

• 2(10 - 2d) + 3d = 17
• 20 - 4d + 3d = 17
• 20 - d = 17
• -d = 17 - 20
• -d = -3
• d = 3.

Теперь подставим значение d в (3) для нахождения a1:

• a1 = 10 - 2 * 3 = 10 - 6 = 4.

Теперь мы знаем, что a1 = 4 и d = 3. Теперь можем найти члены прогрессии:

• a2 = 4 + 3 = 7
• a3 = 4 + 6 = 10
• a4 = 4 + 9 = 13
• a5 = 4 + 12 = 16
• a6 = 4 + 15 = 19
• и так далее...

Теперь нам нужно найти сумму первых 30 членов с чётными номерами:

• Члены с чётными номерами: a2, a4, a6, ..., a60.
• Члены: 7, 13, 19, ..., a60.

Обозначим члены с чётными номерами как b_n, где n = 1, 2, ..., 30:

• b1 = a2 = 7
• b2 = a4 = 13
• b3 = a6 = 19

Можно заметить, что это тоже арифметическая прогрессия, где:

• Первый член b1 = 7
• Разность d_b = 6.

Теперь можем найти сумму первых 30 членов этой прогрессии по формуле:

S_n = n/2 * (b1 + b_n), где b_n - n-ый член прогрессии.

Сначала найдем b30:

b30 = 7 + (30 - 1) * 6 = 7 + 174 = 181.

Теперь подставим в формулу суммы:

S_30 = 30/2 * (7 + 181) = 15 * 188 = 2820.

Таким образом, сумма 30 первых членов арифметической прогрессии с чётными номерами равна 2820.