Чтобы определить сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, необходимо сначала выяснить, является ли последовательность арифметической прогрессией, а затем использовать формулу для нахождения суммы.

1. Проверка на арифметическую прогрессию:

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами является постоянной. Эту разность называют разностью прогрессии (d).

В данном случае первые два члена последовательности: a1 = 2/3 и a2 = 3/4.

Вычислим разность:

d = a2 - a1 = (3/4) - (2/3).

Для выполнения вычитания нужно привести дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель для 4 и 3 — это 12.

• (3/4) = (3 * 3)/(4 * 3) = 9/12
• (2/3) = (2 * 4)/(3 * 4) = 8/12

Теперь вычтем:

d = 9/12 - 8/12 = 1/12.

Таким образом, разность прогрессии d = 1/12. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

2. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S(n) вычисляется по формуле:

S(n) = n/2 * (2a1 + (n-1)d),

где:

• n — количество членов (в нашем случае n = 10),
• a1 — первый член прогрессии (a1 = 2/3),
• d — разность прогрессии (d = 1/12).

Подставим известные значения в формулу:

S(10) = 10/2 * (2*(2/3) + (10-1)*(1/12)).

Упростим:

S(10) = 5 * (4/3 + 9/12).

Теперь нужно привести дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель для 3 и 12 — это 12:

• (4/3) = (4 * 4)/(3 * 4) = 16/12

Теперь сложим:

S(10) = 5 * (16/12 + 9/12) = 5 * (25/12) = 125/12.

3. Ответ:

Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии, заданной последовательностью 2/3, 3/4, ..., равна 125/12.