Чтобы решить неравенство x^2 - 2x - 22 < 0, начнем с нахождения корней соответствующего уравнения x^2 - 2x - 22 = 0.

Для этого используем дискриминант:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -2, c = -22.
• Подставляем значения: D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-22) = 4 + 88 = 92.

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

• x1 = ( -b + sqrt(D) ) / (2a) = ( 2 + sqrt(92) ) / 2.
• x2 = ( -b - sqrt(D) ) / (2a) = ( 2 - sqrt(92) ) / 2.

Корни можно упростить:

• sqrt(92) = sqrt(4 * 23) = 2 * sqrt(23).
• Таким образом, x1 = 1 + sqrt(23) и x2 = 1 - sqrt(23).

Теперь нужно определить, где выражение x^2 - 2x - 22 < 0. Для этого рассмотрим промежутки, определенные корнями:

• Промежутки: (-∞, x2), (x2, x1), (x1, +∞).

Поскольку x2 < 1 < x1, то мы проверяем знак функции на промежутках:

• Для x < x2 (например, x = 0): 0^2 - 2*0 - 22 < 0 (функция положительная).
• Для x в промежутке (x2, x1) (например, x = 5): 5^2 - 2*5 - 22 < 0 (функция отрицательная).
• Для x > x1 (например, x = 10): 10^2 - 2*10 - 22 > 0 (функция положительная).

Таким образом, неравенство x^2 - 2x - 22 < 0 выполняется для значений x из промежутка (x2, x1).

Теперь определим натуральные числа, которые попадают в этот промежуток:

• x2 = 1 - sqrt(23) (приблизительно -4.79) - это значение не натуральное.
• x1 = 1 + sqrt(23) (приблизительно 6.79).

Следовательно, натуральные решения находятся в диапазоне от 2 до 6 (включительно): 2, 3, 4, 5, 6.

Теперь найдем сумму этих натуральных чисел:

• Сумма = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20.

Таким образом, сумма натуральных решений неравенства x^2 - 2x - 22 < 0 равна 20. Из предложенных вариантов ответов ни один не является верным.