Какой объём у прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ образует угол 45° с плоскостью основания, основание является квадратом, а высота параллелепипеда составляет 8 см?

Математика 10 класс Объем прямоугольного параллелепипеда объём прямоугольного параллелепипеда диагональ угол 45° основание квадрат высота 8 см задачи по математике 10 класс Новый

Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, нам нужно знать его основание и высоту. В данном случае основание является квадратом, а высота равна 8 см.

Обозначим сторону квадрата основания как a. Тогда площадь основания будет равна:

• Площадь основания = a * a = a².

Объём V параллелепипеда можно вычислить по формуле:

• V = Площадь основания * высота = a² * h.

Подставим высоту:

• V = a² * 8.

Теперь нам нужно определить сторону квадрата a, используя информацию о диагонали и угле, который она образует с плоскостью основания.

Диагональ d квадрата можно вычислить по формуле:

• d = a * √2.

Согласно условию, диагональ образует угол 45° с плоскостью основания. Это означает, что диагональ равномерно распределяется между высотой и диагональю основания. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты и диагонали:

С учетом угла 45° у нас есть:

• tan(45°) = h / (d/2).

Поскольку tan(45°) = 1, получаем:

• 1 = 8 / (d/2).

Отсюда:

• d/2 = 8,
• d = 16.

Теперь подставим значение диагонали в формулу для диагонали квадрата:

• 16 = a * √2.

Решим это уравнение для a:

• a = 16 / √2 = 8√2.

Теперь подставим значение a в формулу для объёма:

• V = (8√2)² * 8.

Посчитаем:

• (8√2)² = 64 * 2 = 128.
• V = 128 * 8 = 1024 см³.

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда составляет 1024 см³.