Чтобы найти остаток от деления числа 124 в степени 64 на 13, мы можем использовать теорему Ферма, которая гласит, что если p - простое число, а a - целое число, не делящееся на p, то:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

В нашем случае:

• p = 13
• a = 124

Сначала найдем остаток от деления 124 на 13:

124 делим на 13:

• 124 = 13 * 9 + 7

Следовательно, 124 ≡ 7 (mod 13).

Теперь нам нужно найти остаток от деления 7 в степени 64 на 13. Сначала применим теорему Ферма:

По теореме Ферма, так как 7 не делится на 13, мы можем сказать:

7^(12) ≡ 1 (mod 13),так как 12 = 13 - 1.

Теперь найдем, сколько раз 12 помещается в 64:

64 делим на 12:

• 64 = 12 * 5 + 4

Это значит, что 64 = 12 * 5 + 4, и мы можем записать:

7^(64) = (7^(12))^5 * 7^4.

По теореме Ферма, (7^(12))^5 ≡ 1^5 ≡ 1 (mod 13).

Следовательно, нам нужно вычислить только 7^4 (mod 13).

Теперь найдем 7^4:

• 7^2 = 49.
• 49 делим на 13:
• 49 = 13 * 3 + 10, значит 7^2 ≡ 10 (mod 13).
• Теперь найдем 7^4:
• (7^2)^2 = 10^2 = 100.
• 100 делим на 13:
• 100 = 13 * 7 + 9, значит 7^4 ≡ 9 (mod 13).

Теперь мы можем собрать все вместе:

7^(64) ≡ 7^4 ≡ 9 (mod 13).

Таким образом, остаток от деления 124 в степени 64 на 13 равен 9.

Ответ: 9.