Давайте решим задачу по шагам.

1. Найдем периметр треугольника ABC.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Для начала, нам нужно найти длины сторон AB, BC и AC. Длину отрезка между двумя точками с координатами (x1, y1) и (x2, y2) можно найти по формуле:

длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

• Длина AB:

Координаты A (-4, 2) и B (-2, -3)

AB = √((-2 - (-4))² + (-3 - 2)²) = √((2)² + (-5)²) = √(4 + 25) = √29

• Длина BC:

Координаты B (-2, -3) и C (4, 19)

BC = √((4 - (-2))² + (19 - (-3))²) = √((6)² + (22)²) = √(36 + 484) = √520

• Длина AC:

Координаты A (-4, 2) и C (4, 19)

AC = √((4 - (-4))² + (19 - 2)²) = √((8)² + (17)²) = √(64 + 289) = √353

Теперь можем найти периметр:

Периметр = AB + BC + AC = √29 + √520 + √353

2. Найдем площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставляем координаты A (-4, 2), B (-2, -3), C (4, 19):

Площадь = 0.5 * |-4(-3 - 19) + (-2)(19 - 2) + 4(2 - (-3))|

Площадь = 0.5 * |-4(-22) + (-2)(17) + 4(5)|

Площадь = 0.5 * |88 - 34 + 20| = 0.5 * |74| = 37

3. Найдем медиану AK.

Сначала найдем координаты точки K, которая является серединой отрезка BC. Для этого нужно взять средние координаты точек B и C:

Kx = (xB + xC) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1

Ky = (yB + yC) / 2 = (-3 + 19) / 2 = 8

Таким образом, K(1, 8).

Теперь найдем длину медианы AK. Используем ту же формулу для длины отрезка:

AK = √((1 - (-4))² + (8 - 2)²) = √((5)² + (6)²) = √(25 + 36) = √61.

Итак, подводим итоги:

• Периметр треугольника ABC: √29 + √520 + √353
• Площадь треугольника ABC: 37
• Длина медианы AK: √61