Конечно! Давайте по очереди решим каждое из этих неравенств.

а) x(x + 3) - x² + 2x ≥ 0

1. Упростим неравенство:

• x(x + 3) - x² + 2x = x² + 3x - x² + 2x = 5x.

2. Получаем неравенство: 5x ≥ 0.

3. Разделим обе стороны на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства не меняется):

• x ≥ 0.

Ответ: x ≥ 0.

б) (x + 2)² ≤ x²

1. Раскроем скобки:

• (x + 2)(x + 2) = x² + 4x + 4.

2. Подставим в неравенство:

• x² + 4x + 4 ≤ x².

3. Упростим: 4x + 4 ≤ 0.

4. Переносим 4 на правую сторону:

• 4x ≤ -4.

5. Делим обе стороны на 4 (знак неравенства не меняется):

• x ≤ -1.

Ответ: x ≤ -1.

в) x(x) < x² + 4

1. Запишем неравенство: x² < x² + 4.

2. Упростим:

• 0 < 4.

3. Это неравенство всегда верно для всех x.

Ответ: все x (x ∈ R).

г) (x + 1)(x - 1) > x² - 2x

1. Раскроем скобки:

• (x + 1)(x - 1) = x² - 1.

2. Подставим в неравенство:

• x² - 1 > x² - 2x.

3. Упростим:

• -1 > -2x.

4. Переносим -1 на правую сторону:

• 0 > -2x + 1.

5. Умножим обе стороны на -1 (знак неравенства меняется):

• 0 < 2x - 1.

6. Переносим 1 на левую сторону:

• 1 < 2x.

7. Делим обе стороны на 2 (знак неравенства не меняется):

• 1/2 < x.

Ответ: x > 1/2.

Итак, мы решили все неравенства:

• а) x ≥ 0;
• б) x ≤ -1;
• в) все x (x ∈ R);
• г) x > 1/2.