Давайте решим уравнение x² – 3xy + 2y² + 6 = 0 для поиска натуральных чисел (x, y).

Сначала мы можем переписать уравнение в более удобной форме:

x² - 3xy + 2y² + 6 = 0

Это квадратное уравнение по переменной x. Мы можем рассмотреть его как:

x² - 3xy + (2y² + 6) = 0

Теперь, чтобы решить это уравнение, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -3y
• c = 2y² + 6

Теперь подставим эти значения в формулу:

x = (3y ± √((-3y)² - 4 * 1 * (2y² + 6))) / (2 * 1)

Упростим подкоренное выражение:

(-3y)² = 9y²

- 4 * 1 * (2y² + 6) = -8y² - 24

Итак, 9y² - 8y² - 24 = y² - 24

Теперь подставим это обратно в формулу для x:

x = (3y ± √(y² - 24)) / 2

Теперь, чтобы x было натуральным числом, выражение под квадратным корнем (y² - 24) должно быть неотрицательным, то есть:

y² - 24 ≥ 0

y² ≥ 24

Следовательно, y должно быть больше или равно 5, так как 5² = 25.

Теперь мы можем подставить различные натуральные значения y, начиная с 5, и находить соответствующие значения x:

1. Для y = 5:
• Подставляем в формулу: x = (3*5 ± √(5² - 24)) / 2
• Это будет: x = (15 ± √(25 - 24)) / 2 = (15 ± 1) / 2
• Получаем два значения: x = 8 и x = 7.
2. Для y = 6:
• Подставляем в формулу: x = (3*6 ± √(6² - 24)) / 2
• Это будет: x = (18 ± √(36 - 24)) / 2 = (18 ± √12) / 2
• √12 не является целым числом, значит, x не будет натуральным.
3. Для y = 7:
• Подставляем в формулу: x = (3*7 ± √(7² - 24)) / 2
• Это будет: x = (21 ± √(49 - 24)) / 2 = (21 ± √25) / 2
• Получаем два значения: x = 13 и x = 8.
4. Для y = 8:
• Подставляем в формулу: x = (3*8 ± √(8² - 24)) / 2
• Это будет: x = (24 ± √(64 - 24)) / 2 = (24 ± √40) / 2
• √40 не является целым числом, значит, x не будет натуральным.

Таким образом, мы нашли две пары натуральных чисел (x, y):

• (8, 5)
• (13, 7)

Ответ: две пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению, это (8, 5) и (13, 7).