Для решения уравнения 2 1/3 : 4 1/2 = 1 1/9 : х начнем с преобразования смешанных чисел в неправильные дроби.

• 2 1/3: это 2 целых и 1/3. Чтобы преобразовать в неправильную дробь, умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель: 2 * 3 + 1 = 6 + 1 = 7. Таким образом, 2 1/3 = 7/3.
• 4 1/2: это 4 целых и 1/2. Преобразуем: 4 * 2 + 1 = 8 + 1 = 9. Таким образом, 4 1/2 = 9/2.
• 1 1/9: это 1 целое и 1/9. Преобразуем: 1 * 9 + 1 = 9 + 1 = 10. Таким образом, 1 1/9 = 10/9.

Теперь подставим полученные дроби в уравнение:

7/3 : 9/2 = 10/9 : х

Деление дробей можно заменить умножением на обратную дробь. Таким образом, 7/3 : 9/2 = 7/3 * 2/9.

Теперь умножим дроби:

(7 * 2) / (3 * 9) = 14 / 27

Теперь у нас есть уравнение:

14/27 = 10/9 : х

Преобразуем правую часть уравнения:

10/9 : х = 10/9 * 1/x

Теперь у нас получается следующее уравнение:

14/27 = 10/9 * 1/x

Чтобы избавиться от деления на x, умножим обе стороны на x:

(14/27) * x = 10/9

Теперь выразим x:

x = (10/9) / (14/27)

Деление дробей заменяем умножением на обратную:

x = (10/9) * (27/14)

Умножим дроби:

x = (10 * 27) / (9 * 14)

Теперь упростим дробь:

x = 270 / 126

Сократим дробь. Делим числитель и знаменатель на 18:

x = 15 / 7

Таким образом, x = 15/7 или в виде смешанного числа 2 1/7.

Ответ: x = 2 1/7.