Для решения неравенства (x^2 - 19x + 84)/(2(x-5)) ≥ 0 начнем с анализа числителя и знаменателя.

1. **Найдем корни числителя**:

• Числитель: x^2 - 19x + 84.
• Для нахождения корней используем формулу квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -19, c = 84.
• Сначала найдем дискриминант: D = (-19)^2 - 4 * 1 * 84 = 361 - 336 = 25.
• Теперь находим корни:
• x1 = (19 + √25) / 2 = (19 + 5) / 2 = 24 / 2 = 12.
• x2 = (19 - √25) / 2 = (19 - 5) / 2 = 14 / 2 = 7.

Таким образом, корни числителя: x1 = 12 и x2 = 7.

2. **Анализируем знаменатель**:

• Знаменатель: 2(x - 5).
• Знаменатель равен нулю, когда x - 5 = 0, то есть x = 5.

3. **Определим знаки дроби**:

Теперь нам нужно рассмотреть интервалы, которые образуют найденные корни и точка разрыва:

• Корни числителя: 7 и 12.
• Точка разрыва знаменателя: 5.

Таким образом, мы имеем следующие интервалы:

• (-∞, 5)
• (5, 7)
• (7, 12)
• (12, +∞)

4. **Проверим знак дроби на каждом интервале**:

• Для интервала (-∞, 5): выберем x = 0. Подставляем: (0^2 - 19*0 + 84) / (2(0-5)) = 84 / (-10) < 0.
• Для интервала (5, 7): выберем x = 6. Подставляем: (6^2 - 19*6 + 84) / (2(6-5)) = (36 - 114 + 84) / 2 = 6 / 2 > 0.
• Для интервала (7, 12): выберем x = 10. Подставляем: (10^2 - 19*10 + 84) / (2(10-5)) = (100 - 190 + 84) / 10 = -6 / 10 < 0.
• Для интервала (12, +∞): выберем x = 13. Подставляем: (13^2 - 19*13 + 84) / (2(13-5)) = (169 - 247 + 84) / 16 = 6 / 16 > 0.

5. **Соберем результаты**:

• На интервале (-∞, 5) дробь отрицательна.
• На интервале (5, 7) дробь положительна.
• На интервале (7, 12) дробь отрицательна.
• На интервале (12, +∞) дробь положительна.

6. **Определим, где дробь не отрицательна**:

Мы ищем, где дробь больше или равна нулю:

• Положительная на интервалах (5, 7) и (12, +∞).
• Дробь равна нулю в точках x = 7 и x = 12.

7. **Запишем окончательный ответ**:

Решение неравенства: (5, 7] ∪ [12, +∞).