Решите неравенство x^2 + 2x - 3 / 2x - 3 > 0.

Математика 10 класс Неравенства неравенство решение неравенства математика x^2 + 2x - 3 2x - 3 математические задачи алгебра неравенства в алгебре график неравенства Новый

Для решения неравенства (x^2 + 2x - 3) / (2x - 3) > 0, начнем с анализа числителя и знаменателя.

Шаг 1: Найдем нули числителя.

Числитель равен нулю, когда:

x^2 + 2x - 3 = 0.

Решим это квадратное уравнение, используя формулу корней:

• a = 1, b = 2, c = -3.
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16.
• Корни уравнения: x1 = (-b + √D) / (2a) и x2 = (-b - √D) / (2a).
• Тогда x1 = (-2 + 4) / 2 = 1 и x2 = (-2 - 4) / 2 = -3.

Таким образом, нули числителя: x1 = 1 и x2 = -3.

Шаг 2: Найдем нули знаменателя.

Знаменатель равен нулю, когда:

2x - 3 = 0.

Решим это уравнение:

• 2x = 3,
• x = 3/2.

Таким образом, ноль знаменателя: x = 3/2.

Шаг 3: Определим интервалы.

Теперь у нас есть три критические точки: -3, 3/2 и 1. Эти точки разбивают числовую прямую на следующие интервалы:

• (-∞, -3),
• (-3, 1),
• (1, 3/2),
• (3/2, +∞).

Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале.

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:

• Для интервала (-∞, -3): Пусть x = -4. Подставим: (-4)^2 + 2*(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (положительное); 2*(-4) - 3 = -8 - 3 = -11 (отрицательное). Значит, дробь положительна.
• Для интервала (-3, 1): Пусть x = 0. Подставим: 0^2 + 2*0 - 3 = -3 (отрицательное); 2*0 - 3 = -3 (отрицательное). Значит, дробь положительна.
• Для интервала (1, 3/2): Пусть x = 1.2. Подставим: (1.2)^2 + 2*1.2 - 3 = 1.44 + 2.4 - 3 = 0.84 (положительное); 2*1.2 - 3 = 2.4 - 3 = -0.6 (отрицательное). Значит, дробь отрицательна.
• Для интервала (3/2, +∞): Пусть x = 2. Подставим: (2)^2 + 2*2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 (положительное); 2*2 - 3 = 4 - 3 = 1 (положительное). Значит, дробь положительна.

Шаг 5: Составим итоговое решение.

Теперь мы можем записать знаки на каждом интервале:

• (-∞, -3): положительно,
• (-3, 1): положительно,
• (1, 3/2): отрицательно,
• (3/2, +∞): положительно.

Мы ищем, где дробь больше нуля. Это происходит на интервалах:

• (-∞, -3),
• (-3, 1),
• (3/2, +∞).

Не забываем, что в точках -3 и 3/2 дробь не определена (знаменатель равен нулю), а в точке 1 дробь равна нулю.

Итак, окончательное решение неравенства:

x ∈ (-∞, -3) ∪ (-3, 1) ∪ (3/2, +∞).