Решите, пожалуйста. Очень надо.
log 1/4(3x+1) ÷ log 1/4(6x-1) < 2

Математика 10 класс Неравенства с логарифмами логарифмы неравенства решение уравнений математика алгебра логарифмическое неравенство математические задачи Новый

Привет! Давай решим это неравенство вместе! Это будет интересно и познавательно!

Начнем с неравенства:

log 1/4(3x+1) ÷ log 1/4(6x-1) < 2

Мы можем воспользоваться свойством логарифмов, чтобы упростить это выражение. Помним, что:

• log_a(b) = log_c(b) / log_c(a).

Таким образом, мы можем записать:

log 1/4(3x+1) = log(3x+1) / log(1/4)

log 1/4(6x-1) = log(6x-1) / log(1/4)

Теперь подставим это в неравенство:

(log(3x+1) / log(1/4)) ÷ (log(6x-1) / log(1/4)) < 2

Сокращаем log(1/4):

log(3x+1) / log(6x-1) < 2

Теперь умножим обе стороны на log(6x-1) (при условии, что log(6x-1) > 0):

log(3x+1) < 2 * log(6x-1)

Используем свойство логарифмов, чтобы переписать правую часть:

log(3x+1) < log((6x-1)^2)

Теперь, поскольку логарифмы с одинаковым основанием являются монотонными функциями, мы можем убрать логарифмы:

3x + 1 < (6x - 1)^2

Раскроем квадрат:

3x + 1 < 36x^2 - 12x + 1

Соберем все в одну сторону:

0 < 36x^2 - 15x

0 < 3x(12x - 5)

Теперь определим, при каких значениях x это неравенство выполняется:

• 3x > 0 → x > 0
• 12x - 5 > 0 → x > 5/12

Таким образом, решением неравенства будет:

x > 5/12

Не забудь проверить, что выражение под логарифмами положительное:

• 3x + 1 > 0 → x > -1/3
• 6x - 1 > 0 → x > 1/6

Наименьшее значение из этих условий - это x > 1/6. Поэтому окончательное решение:

x > 5/12

Ура! Мы справились! Если есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!