Сколько дней понадобилось бригаде маляров, чтобы покрасить забор длиной 810 метров, если каждый день они увеличивали норму покраски на одно и то же число метров, а за первый и последний день в сумме покрасили 180 метров?

Математика 10 класс Арифметическая прогрессия математика 10 класс задача на проценты покраска забора арифметическая прогрессия решение задач бригада маляров нормирование труда задачи на движение длина забора дни покраски Новый

Для решения задачи давайте обозначим:

• x - количество метров, которое бригада маляров красит в первый день;
• d - количество метров, на которое они увеличивают норму покраски каждый день;
• n - общее количество дней, в течение которых они работали.

Согласно условию, за первый день они покрасили x метров, а за последний день (n-й день) они покрасили x + (n - 1)d метров. Сумма покрашенного за первый и последний день составляет 180 метров:

x + (x + (n - 1)d) = 180

Упрощаем это уравнение:

2x + (n - 1)d = 180 (1)

Также известно, что за все дни они покрасили 810 метров:

x + (x + d) + (x + 2d) + ... + (x + (n - 1)d) = 810

Это выражение можно упростить. Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна:

n x + d (0 + 1 + 2 + ... + (n - 1)) = 810

Сумма первых (n - 1) натуральных чисел равна (n - 1)n/2. Подставим это в уравнение:

n x + d (n - 1)n/2 = 810 (2)

Теперь у нас есть две системы уравнений (1) и (2). Мы можем выразить d из первого уравнения:

d = (180 - 2x) / (n - 1)

Теперь подставим это значение d во второе уравнение:

n x + ((180 - 2x) / (n - 1)) (n - 1)n/2 = 810

Упрощаем это уравнение:

n * x + (180 - 2x)n/2 = 810

Теперь раскроем скобки:

n * x + 90n - xn = 810

Сокращаем n * x:

90n = 810

Теперь делим обе стороны на 90:

n = 9

Теперь, когда мы знаем, что бригада работала 9 дней, мы можем найти x и d. Подставим значение n в уравнение (1):

2x + (9 - 1)d = 180

Это упрощается до:

2x + 8d = 180 (3)

Теперь подставим значение n в уравнение (2):

9x + 4d = 810 (4)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (3) и (4). Решим эту систему. Из (3) выразим d:

d = (180 - 2x) / 8

Теперь подставим d в (4):

9x + 4 * (180 - 2x) / 8 = 810

Умножим все на 8, чтобы избавиться от дробей:

72x + 720 - 8x = 6480

Соберем все x в одну сторону:

64x = 5760

Теперь делим обе стороны на 64:

x = 90

Теперь подставим значение x в уравнение (3) для нахождения d:

2 * 90 + 8d = 180

Это упрощается до:

180 + 8d = 180

Таким образом, d = 0, что означает, что они не увеличивали норму покраски.

Теперь мы можем проверить, сколько они покрасили за 9 дней:

9 * 90 = 810

Таким образом, бригаде маляров понадобилось 9 дней, чтобы покрасить забор длиной 810 метров.