У нас есть треугольник с вершинами А (7; —6), В(—2; —2) и С(1; 2). Необходимо найти:

1. уравнение прямой AM, которая будет параллельна стороне ВС;
2. уравнение медианы AD;
3. уравнение высоты BF;
4. угол В.

Математика 10 класс Геометрия треугольника треугольник ABC уравнение прямой медиана AD высота BF угол B координаты вершин параллельная прямая математические задачи геометрия решение задач Новый

Давайте по порядку решим каждую из задач, используя координаты вершин треугольника A(7; -6), B(-2; -2) и C(1; 2).

1. Уравнение прямой AM, параллельной стороне BC.

Сначала найдем уравнение прямой BC. Для этого определим наклон (угловой коэффициент) этой прямой. Наклон можно найти по формуле:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек B и C соответственно.

• k = (2 - (-2)) / (1 - (-2)) = (2 + 2) / (1 + 2) = 4 / 3.

Теперь мы знаем, что наклон прямой BC равен 4/3. Поскольку прямая AM должна быть параллельна BC, она будет иметь тот же наклон.

Используем точку A(7; -6) для нахождения уравнения прямой AM в виде:

y - y1 = k(x - x1),

где (x1, y1) - координаты точки A.

• y - (-6) = (4/3)(x - 7).

Теперь упростим уравнение:

• y + 6 = (4/3)x - (28/3),
• y = (4/3)x - (28/3) - 6.

Приведем -6 к общему знаменателю:

• -6 = -18/3,
• y = (4/3)x - (28/3) - (18/3) = (4/3)x - (46/3).

Таким образом, уравнение прямой AM:

y = (4/3)x - (46/3).

2. Уравнение медианы AD.

Для нахождения уравнения медианы AD, нам сначала нужно найти координаты середины отрезка BC. Середина M вычисляется по формуле:

M = ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2).

• M = ((-2 + 1)/2; (-2 + 2)/2) = (-1/2; 0).

Теперь мы можем найти уравнение прямой AD, используя координаты A(7; -6) и M(-1/2; 0).

Наклон прямой AD:

• k = (0 - (-6)) / (-1/2 - 7) = 6 / (-15/2) = -12/15 = -4/5.

Теперь используем точку A для нахождения уравнения:

• y - (-6) = (-4/5)(x - 7).

Упрощаем:

• y + 6 = (-4/5)x + (28/5),
• y = (-4/5)x + (28/5) - 6.

Приведем -6 к общему знаменателю:

• -6 = -30/5,
• y = (-4/5)x + (28/5) - (30/5) = (-4/5)x - (2/5).

Таким образом, уравнение медианы AD:

y = (-4/5)x - (2/5).

3. Уравнение высоты BF.

Для нахождения уравнения высоты BF, нам нужно найти наклон прямой AC, поскольку высота BF будет перпендикулярна этой прямой.

Наклон прямой AC:

• k = (2 - (-6)) / (1 - 7) = (2 + 6) / (1 - 7) = 8 / (-6) = -4/3.

Наклон высоты BF будет равен обратному значению наклона AC:

• k_BF = 3/4.

Теперь используем точку B(-2; -2) для нахождения уравнения высоты BF:

• y - (-2) = (3/4)(x - (-2)).

Упрощаем:

• y + 2 = (3/4)(x + 2),
• y + 2 = (3/4)x + (3/2).

Теперь приведем к общему виду:

• y = (3/4)x + (3/2) - 2.

Приведем -2 к общему знаменателю:

• -2 = -4/2,
• y = (3/4)x + (3/2) - (4/2) = (3/4)x - (1/2).

Таким образом, уравнение высоты BF:

y = (3/4)x - (1/2).

4. Угол B.

Для нахождения угла B, мы можем использовать формулу:

cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac),

где a, b и c - длины сторон треугольника, а B - угол между сторонами a и c.

Сначала найдем длины сторон:

• AB = sqrt((7 - (-2))^2 + (-6 - (-2))^2) = sqrt(9^2 + (-4)^2) = sqrt(81 + 16) = sqrt(97);
• BC = sqrt((-2 - 1)^2 + (-2 - 2)^2) = sqrt((-3)^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5;
• AC = sqrt((7 - 1)^2 + (-6 - 2)^2) = sqrt(6^2 + (-8)^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10.

Теперь подставим значения в формулу:

• cos(B) = (10^2 + 5^2 - sqrt(97)^2) / (2 * 10 * 5) = (100 + 25 - 97) / (100) = 28 / 100 = 0.28.

Теперь найдем угол B:

B = arccos(0.28).

Результат можно найти с помощью калькулятора. Угол B примерно равен 73.74 градусам.

Таким образом, мы нашли:

• Уравнение прямой AM: y = (4/3)x - (46/3);
• Уравнение медианы AD: y = (-4/5)x - (2/5);
• Уравнение высоты BF: y = (3/4)x - (1/2);
• Угол B примерно равен 73.74 градусам.