В арифметической прогрессии разность между десятым и четвертым членами составляет (-90), а шестой член равен (-55). Как найти первый член и сумму первых пяти членов этой прогрессии?

Математика 10 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия разность членов первый член сумма членов математические задачи решение уравнений десятый член четвертый член шестой член поиск суммы Новый

Для решения данной задачи начнем с определения основных элементов арифметической прогрессии.

Обозначим:

• a - первый член прогрессии;
• d - разность прогрессии.

Согласно свойствам арифметической прогрессии, n-й член прогрессии можно выразить формулой:

an = a + (n - 1)d.

Теперь запишем члены, которые нам известны:

• Четвертый член: a4 = a + 3d;
• Десятый член: a10 = a + 9d;
• Шестой член: a6 = a + 5d.

Из условия задачи мы знаем, что:

• Разность между десятым и четвертым членами равна -90:

a10 - a4 = -90.

Подставим выражения для a10 и a4:

(a + 9d) - (a + 3d) = -90.

Упростим это уравнение:

9d - 3d = -90,

6d = -90.

Отсюда находим d:

d = -90 / 6 = -15.

Теперь, используя значение d, найдем первый член a. Из условия задачи также известно, что шестой член равен -55:

a6 = a + 5d = -55.

Подставим d:

a + 5(-15) = -55.

Упростим уравнение:

a - 75 = -55.

Теперь найдем a:

a = -55 + 75 = 20.

Итак, мы нашли первый член прогрессии:

a = 20

и разность:

d = -15

Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов прогрессии. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d).

Подставим n = 5, a = 20 и d = -15:

S_5 = 5/2 * (2 * 20 + (5 - 1)(-15)).

Сначала вычислим выражение в скобках:

2 * 20 = 40,

(5 - 1)(-15) = 4 * (-15) = -60.

Теперь сложим:

40 - 60 = -20.

Теперь подставим это значение в формулу для суммы:

S_5 = 5/2 * (-20) = 5 * (-10) = -50.

Таким образом, ответ:

• Первый член прогрессии: a = 20
• Сумма первых пяти членов: S_5 = -50