В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает сторону CD в точке М. Прямая ВМ перпендикулярна прямой АМ. а) Докажите, что точка М середина стороны CD. б) Найдите расстояние от точки М до прямой AD, если АМ = 6 и один из углов параллелограмма в два раза больше другого.

Математика 10 класс Параллелограммы и их свойства параллелограмм биссектрисы доказательство середина стороны расстояние перпендикуляр углы параллелограмма математика 10 класс Новый

Давайте разберемся с задачей!

а) Докажите, что точка М середина стороны CD.

• В параллелограмме ABCD углы A и C являются смежными, а углы B и D также смежные.
• Поскольку AM - биссектрисa угла A, то угол BAM равен углу CAM.
• Также известно, что прямая BM перпендикулярна прямой AM, что означает, что треугольники ABM и ACM являются прямоугольными.
• В треугольниках ABM и ACM у нас есть:
• Угол BAM = Угол CAM (по свойству биссектрисы)
• Угол ABM = Угол ACM = 90° (по условию задачи)
• Следовательно, по теореме о равенстве углов и гипотенуз, треугольники ABM и ACM равны по двум углам и стороне (AM).
• Таким образом, BM = CM, что и доказывает, что точка M является серединой стороны CD.

б) Найдите расстояние от точки М до прямой AD.

• Так как один из углов параллелограмма в два раза больше другого, предположим, что угол A = 2x, а угол B = x.
• Сумма углов в параллелограмме равна 360°, поэтому 2x + x + 2x + x = 360°.
• Решая это уравнение, получаем: 6x = 360°, отсюда x = 60°.
• Таким образом, угол A = 120° и угол B = 60°.
• Теперь, чтобы найти расстояние от точки M до прямой AD, используем формулу:
• Расстояние от точки до прямой равно AM * sin(угол A).
• Подставим значения: AM = 6 и угол A = 120°.
• sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3/2.
• Следовательно, расстояние от точки M до прямой AD:
• Расстояние = 6 * (√3/2) = 3√3.

Итак, мы доказали, что точка M - середина стороны CD, и нашли расстояние от точки M до прямой AD, которое равно 3√3!