В треугольнике ABC даны медианы BE и AD, которые пересекаются в точке O. Известно, что стороны AO, OE и AE равны. Как можно вычислить косинус угла BAC?

Математика 10 класс Треугольники и их свойства треугольник ABC медианы BE AD точка O стороны AO OE AE косинус угла BAC Новый

Для решения задачи воспользуемся свойствами медиан и треугольников. Давайте разберем данную ситуацию шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание свойств медиан

• Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Точка пересечения медиан (в нашем случае O) делит каждую медиану в отношении 2:1, то есть AO = 2 * OI, где I – это точка, где медиана пересекает сторону.

Шаг 2: Использование данных о равенствах

• Из условия задачи нам известно, что AO = OE = AE. Обозначим это равенство как k.
• Таким образом, AO = k, OE = k и AE = k.

Шаг 3: Вычисление длины медиан

• Поскольку AO = k, то OI = k/2 (так как O делит AO в отношении 2:1).
• Теперь найдем длины медиан BE и AD. Для этого используем свойства треугольников.

Шаг 4: Применение теоремы о косинусах

• В треугольнике AOE применяем теорему косинусов: AE^2 = AO^2 + OE^2 - 2 * AO * OE * cos(AOE).
• Подставляем известные значения: k^2 = k^2 + k^2 - 2 * k * k * cos(AOE).
• Упрощаем уравнение: k^2 = 2k^2 - 2k^2 * cos(AOE).
• Переносим все на одну сторону: 0 = k^2 - 2k^2 * cos(AOE).
• Делим на k^2 (при k ≠ 0): 0 = 1 - 2cos(AOE).
• Отсюда получаем: cos(AOE) = 1/2.

Шаг 5: Определение угла BAC

• Угол AOE является половиной угла BAC, так как O – это точка пересечения медиан.
• Если cos(AOE) = 1/2, то угол AOE равен 60 градусам (так как косинус 60 градусов равен 1/2).
• Следовательно, угол BAC = 2 * AOE = 120 градусов.

Шаг 6: Ответ на вопрос

Таким образом, косинус угла BAC равен:

cos(BAC) = cos(120°) = -1/2.

Ответ: косинус угла BAC равен -1/2.